2020-10-19
В два цилиндрических сообщающихся сосуда налита жидкость (см. рис.). На поверхностях жидкости в сосудах установлены поршни одинаковой толщины из одинакового материала. К поршням на вертикальных стержнях прикреплен невесомый брусок. Диаметры сосудов равны и $d_{1} = 80 см$ и $d_{2} = 60 см$, а промежуток между ними $a = 30 см$. На каком расстоянии и с какой стороны от середины бруска нужно закрепить дополнительный груз, чтобы равновесие бруска не ??нарушилась?
Решение:
Определите давление первого поршня $p_{1} = \frac{ \rho_{п} hS_{1}g }{S_{1}} = \rho_{п} gh$. Как известно, поршни имеют одинаковую толщину, следовательно и давления они будут создавать одинаковые: $p_{1} = p_{2}$.
Поршни находятся на одинаковых уровнях. Закрепите груз на расстоянии $x$ от середины бруска, чтобы равновесие не нарушилась. Давления, которые создают поршни снова одинаковы:
$p_{1} + \frac{N_{1} }{S_{1} } = p_{2} + \frac{N_{2} }{S_{2} }$,
отсюда
$\frac{N_{1} }{S_{1} } = \frac{N_{2} }{S_{2} }$. (1)
Условие равновесия бруска предопределять также равенство моментов сил относительно точки $x$:
$N_{1} \left ( \frac{ \frac{d_{1} }{2} + \frac{d_{2} }{2} + a }{2} - x \right ) = N_{2} \left ( \frac{ \frac{d_{1} }{2} + \frac{d_{2} }{2} + a }{2} + x \right )$. (2)
Деля (2) на (1):
$S_{1} \left ( \frac{d_{1} + d_{2} + 2a }{4} - x \right ) = S_{2} \left ( \frac{d_{1} + d_{2} + 2a }{4} + x \right )$,
отсюда $x = \frac{(S_{1} - S_{2} )(d_{1} + d_{2} + 2a ) }{4(S_{1} + S_{2} )}$.
Учтем, что $S \sim d^{2}$, тогда:
$x = \frac{(d_{1}^{2} - d_{2}^{2} )(d_{1} + d_{2} + 2a )}{4(d_{1}^{2} + d_{2}^{2} )} = 0,14 м$.
Итак, груз нужно закрепить расстоянии $x = 0,14 м$ слева от середины бруска.