2020-06-09
Излучение с длинами волн $\lambda_{1} = 589,0 нм$ и $\lambda_{2} = 589,6 нм$ от точечного источника падает на экран с двумя малыми отверстиями, расположенными симметрично относительно оси, проходящей через источник перпендикулярно плоскости экрана. На расстоянии $L = 0,7 м$ за этим экраном расположен второй экран, параллельный первому. На втором экране на расстоянии $b = 5 см$ от центра картины, там, где максимум, соответствующий одной длине волны, накладывается на минимум, соотвествующий другой, интерференционные полосы исчезают первый раз. Найдите расстояние $d$ между отверстиями.
Решение:
На рисунке схематически показано расположение точечного источника $S$, экрана $Э_{1}$ с отверстиями $O_{1}, O_{2}$ и второго экрана $Э_{2}$. Поскольку источник является точечным и посылает свет на два малых отверстия, в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля следует считать, что эти отверстия являются точечными вторичными когерентными источниками. Поэтому на втором экране должны наблюдаться две накладывающиеся друг на друга интерференционные картины, соответствующие длинам волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Как известно, результат интерференции определяется разностью фаз налагающихся колебаний: при разности фаз, кратной $2 \pi$, буде наблюдаться интерференционный максимум, а при разности фаз, кратной нечетному числу $\pi$, - интерференционный минимум. В однородной изотропной среде разность фаз налагающихся колебаний однозначно определяется разностью хода приходящих в данную точку лучей. Поскольку отверстия в первом экране расположены симметрично относительно источника S, то вторичные источники $O_{1}$ и $O_{2}$ следует считать синфазными, а разность хода $\delta$ лучей, попадающих от этих источников в
точку наблюдения А, как это видно из рисунка, равна
$\delta = O_{2}A - O_{1}A$, где $O_{1}A = \sqrt{L^{2} + \left ( b - \frac{d}{2} \right )^{2} }$,
$O_{2}A = \sqrt{ L^{2} + \left ( b + \frac{d}{2} \right )^{2}}$.
По условию задачи. $L = 70 см \gg b = 5 см$, поэтому, пользуясь формулой приближенного вычисления $\sqrt{1 + \epsilon} \approx 1 + \frac{ \epsilon}{2}$, справедливой при условии $\epsilon \ll 1$, разность хода $\delta$ с достаточной степенью точности можно вычислить следующим образом:
$\delta \approx \left ( 1 + 0,5 \left ( \frac{b + \frac{d}{2} }{L} \right )^{2} - 1 - 0,5 \left ( \frac{b - \frac{d}{2} }{L} \right )^{2} \right ) L = \frac{bd}{L}$.
В точке А должен иметь место интерференционный максимум для одной длины волны и интерференционный минимум для другой длины волны, поэтому должно выполняться соотношение
$\delta = \frac{2n + 1}{2} \lambda_{1} = n \lambda_{2}$.
Отсюда находим порядок интерференционного максимума для второй длины волны:
$n = \frac{ \lambda_{1} }{2 ( \lambda_{2} - \lambda_{1} ) }$
и искомое расстояние между отверстиями:
$d = \frac{L \lambda_{1} \lambda_{2}}{2( \lambda_{2} - \lambda_{1} )b} \approx 4 мм$.