2020-06-09
На плоскую поверхность линзы, находящейся в воздухе, перпендикулярно этой поверхности падает узкий пучок света, параллельный главной оптической оси линзы. При этом на экране, расположенном за линзой, наблюдается светлое пятно, диаметр которого в $k$ раз ($k > 1$) меньше диаметра падающего пучка. Найдите показатель преломления $n$ стекла линзы, зная, что при погружении линзы с экраном (при неизменном расстоянии между ними) в жидкость с показателем преломления щ диаметр светлого пятна на экране не изменяется.
Решение:
Поскольку падающий на линзу, параллельно ее главной оптической оси, пучок света является узким, т.е. радиус пучка $R$ много меньше фокусного расстояния $F$ линзы, то после прохождения собирающей линзы все лучи этого пучка должны пройти через главный фокус $F$, находящийся за линзой. Если же линза рассеивающая, то выходящий из линзы пучок должен быть расходящимся, а продолжения выходящих из линзы лучей должны пересекаться перед линзой в ее главном фокусе. По условию задачи, диаметр $r$ светового пучка на экране, стоящем за линзой, меньше $R$. Следовательно, используемая линза является собирающей, а экран может находиться либо ближе фокуса (на экран падает сходящийся пучок), либо дальше фокуса (падающий на экран пучок света является расходящимся). По условию задачи, после погружения линзы вместе с экраном жидкость с показателем преломления $n_{1}$ диаметр светового пучка на экране не изменяется, а потому из двух рассмотренных случаев возможен лишь второй случай.
На рисунке показано сечение линзы Л и экрана Э плоскостью, содержащей главную оптическую ось OF линзы.
Сплошными линиями показан ход двух крайних лучей пучка, выходящего из находящейся в воздухе линзы, а пунктиром изображены крайние лучи пучка, выходящего из линзы, погруженной в жидкость (эти лучи должны были бы пересечься в точке $F_{1}$ - главном фокусе линзы, находящейся в жидкости). Поскольку $R \ll F < F_{1}$, углы отклонения крайних лучей пучка после преломления в линзе ($\beta$ - в случае, когда линза находилась в воздухе, и $\beta_{1}$ - в жидкости) малы.
В квадратной рамке на рисунке изображен столь малый кусочек линзы, что часть его сферической поверхности практически неотличима от соприкасающейся с линзой в данном месте плоскости. Сплошной линией со стрелками показан ход падающего и выходящего из изображенного на рисунке кусочка линзы луча. По условию задачи, пучок падает нормально на плоскую поверхность линзы, поэтому внутри линзы лучи не изменяют своего направления, а испытывают преломление только на сферической поверхности. По закону преломления величины угла падения $\alpha$ и угла преломления $\gamma$ на плоской границе двух однородных изотропных сред с абсолютными показателями преломления $n_{I}$ и $n_{II}$ должны удовлетворять соотношению $\frac{ \sin \alpha }{ \sin \gamma } = \frac{n_{II} }{n_{I} }$. Учитывая, что углы отклонения $\beta$ и $\beta_{1}$ малые, в соответствии с соотношением $\gamma_{i} = \alpha + \beta_{i}$, можно записать
$\beta = (n - 1) \alpha$ и $\beta_{1} = \left ( \frac{n}{n_{I} } - 1 \right ) \alpha$.
Обратившись к рисунку и учитывая последнее замечание, получим
$R = \beta F = \beta_{1} F_{1}$ и $k^{-1} = \frac{r}{R} = \frac{L}{F} - 1 = 1 - \frac{L}{F_{1}}$,
где $L$ - расстояние от линзы до экрана.
Отсюда найдем
$\frac{ \beta }{ \beta_{1} } = \frac{(n - 1)n_{I} }{n - n_{I} } = \frac{F_{1} }{F} = \frac{1 + k}{k - 1}$,
а потому искомый показатель преломления стекла линзы равен
$n = \frac{2n_{I} }{1 + k + (1 - k)n_{I} }$.