2020-06-09
На каркас, состоящий из двух коаксиальных цилиндров с радиусами $r$ и $R$, вращающийся вокруг закрепленной горизонтальной оси ОО, намотана изолированная тонкая проволока так, как показано на рисунке. К нижнему концу проволоки прикреплен груз, а ее верхний конец тянут с постоянной скоростью $v$ вертикально вверх. Цилиндры находятся в однородном магнитном поле, индукция которого равна $B$ и параллельна оси цилиндров. Найдите разность потенциалов между концами проволоки для моментов времени, когда на цилиндре радиусом $R$ остается хотя бы часть проволоки.
Решение:
На движущиеся в магнитном поле вместе с проволокой свободные носители заряда действует сила Лоренца, равная $F_{л} = qvB$, где $q$ - заряд носителя, и направленная перпендикулярно скорости носителя и индукции магнитного поля. Под действием этой силы происходит перераспределение зарядов, в результате чего возникает электрическое поле, стремящееся скомпенсировать действие силы Лоренца. При установившемся движении в каждой точке проволоки должно существовать электрическое поле, напряженность которого равна $E = \frac{F_{л}}{q} = vB$ и направлена против силы Лоренца. Поэтому точки, лежащие в поперечном сечении проволоки, не будут эквипотенциальными. Однако, считая проволоку достаточно тонкой, разностью потенциалов между точками одного и того же поперечного сечения можно пренебречь. Вместе с тем, можно утверждать, что на участке проволоки, находящемся между цилиндрами с радиусами $R$ и $r$, будет существовать электрическое поле, величина составляющей которого, направленной по радиусу цилиндра, равна $E( \rho ) = v( \rho )B = \frac{v \rho B}{R}$, где $\rho$ - удаление точки провода от оси вращения. На рисунке приведена зависимость величины этой составляющей от $\rho$. Приращение разности потенциалов между столь близкими точками, находящимися на расстоянии $\Delta \rho$ в направлении действия поля, что напряженность поля $E( \rho)$ между ними можно считать постоянной, равно
$\Delta \phi ( \rho , \rho + \Delta \rho ) = - E( \rho ) \Delta \rho$.
Тогда получим, что искомая разность потенциалов должна быть равна площади выделенной на рисунке трапеции:
$\Delta \phi (r, R) = \frac{E(R) + E(r)}{2} (R - r) = \frac{vB}{2R} (R^{2} - r^{2})$,
причем потенциал верхнего конца проволоки больше, чем потенциал точки проволоки, прикрепленной к грузу.