2020-06-09
Две проволоки, изготовленные из материала с малым температурным коэффициентом сопротивления, подключают к аккумулятору с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением один раз параллельно, а другой раз последовательно. При первом включении скорости дрейфа носителей заряда в проволоках оказались одинаковыми, а во втором случае скорость в первой проволоке уменьшилась в $k = 5$ раз по сравнению с предыдущим случаем. Найдите отношение диаметров проволок.
Решение:
Согласно классической теории, электропроводность металлов обусловлена наличием в них свободных электронов, которые под действием постоянного электрического поля дрейфуют с постоянной скоростью в направлении, противоположном направлению этого поля. Поэтому, если обозначить концентрацию свободных электронов $n$, величину скорости дрейфа $v$, модуль заряда электрона $e$, а площадь поперечного сечения проводника $S$, то сила тока $I$, текущего по проводнику, равна $I = envS$.
Как известно, сопротивление однородного проводника длиной $L$ и площадью поперечного сечения $S$ равно $R = \frac{ \rho L}{S}$, где $\rho$ - удельное сопротивление материала проволоки. Учитывая, что проволоки изготовлены из одного и того же материала с малым температурным коэффициентом, следует считать удельные сопротивления проволок неизменными и одинаковыми.
При параллельном подключении проволок к аккумулятору с ЭДС $E$ в каждой из них течет ток $I_{i} = \frac{E}{R_{i} }$, или $envS_{i} = \frac{ES_{i}}{ \rho L_{i} }$, где $v$ - скорость дрейфа носителей в этом случае. Из этого выражения следует, что обе проволоки имеют одну и ту же длину $L$.
При последовательном соединении проволок сила тока в проволоках должна быть одинаковой и равной $I = env_{1}S_{1} = en \frac{v}{k} S_{1} = env_{2} S_{2}$, так как скорость дрейфа носителей в первой проволоке во втором случае в $k$ раз меньше, чем в первом случае. С другой стороны, при последовательном соединении должно выполняться соотношение
$E = I(R_{1} + R_{2} ) = I \rho L (S_{1}^{-1} + S_{2}^{-1} ) = en \rho L (v_{1} + v_{2} ) = en \rho Lv$.
Следовательно, $v_{2} = (k - 1)v_{1}$, а искомое отношение диаметров проволок равно
$x = \frac{d_{1}}{d_{2} } = \sqrt{ \frac{S_{1} }{S_{2} } } = \sqrt{ \frac{v_{2} }{v_{1} } } = \sqrt{ k - 1} = 2$.