2020-06-09
Зависимость от температуры молярной теплоемкости $c_{м}$ идеального одноатомного газа в цикле тепловой машины, который состоит из трех последовательных процессов 1-2, 2-3, 3-1, изображена на рисунке, где $R$ - универсальная газовая постоянная. Найдите отношение давлений газа при максимальной $T_{2}$ и минимальной $T_{1}$ температурах в этом цикле, если КПД машины равен $\eta$ количество газа в цикле неизменно и $\frac{T_{2}}{T_{1} } = n$.
Решение:
Согласно приведенному графику температура газа на участке 1-2 повышается. Следовательно, газ а этом участке получает от нагревателя тепло в количестве $Q_{н} = 11 \nu R \frac{T_{2} -T_{1}}{6}$, где $\nu$ - количество молей газа. На участках 2-3 и 3-1 газ отдает холодильнику количество теплоты
$Q_{х} = 1,5 \nu R (T_{2} - T_{3}) + 2,5 \nu R(T_{3} - T_{1}) = \nu R(1,5T_{2} + T_{3} - 2,5T_{1})$,
где $T_{3}$ - температура газа в точке 3.
Полагая, что КПД машины, работающей по указанному циклу, равен КПД цикла, можно утверждать, что
$\eta = 1 - \frac{Q_{х} }{Q_{н} } = \frac{4T_{1} + 2T_{2} - 6T_{3}}{11(T_{2} - T_{1} )} $.
Учитывая, что $n = \frac{ T_{2}}{T_{1} }$, находим
$T_{3} = \frac{4 + 2n - 11(n-1) \eta}{6} T_{1}$.
По условию задачи, используемый в качестве рабочего тела газ является идеальным одноатомным. Поскольку на участке 2-3 молярная теплоемкость газа равна $1,5R$, можно утверждать, что на этом участке газ охлаждался изохорически, значит, отношение давлений газа в точках 2 и 3 равно отношению температур газа в этих точках. На участке 3-1 молярная теплоемкость газа равна $2,5R$. Поэтому охлаждение газа на этом участке должно происходить изобарически, т.е. при неизменном давлении, а потому $p_{1} = p_{3}$. Следовательно, искомое отношение давлений равно
$x = \frac{p_{2} }{p_{1} } = \frac{p_{2} }{p_{3} } = \frac{T_{2} }{T_{3} } = n \frac{T_{1} }{T_{3} } = \frac{6n}{4 + 2n - 11(n - 1) \eta }$.