2020-06-09
В гладком вертикальном цилиндре под поршнем массой $M$ содержится $\nu$ молей неона при температуре $T_{0}$. Площадь поперечного сечения цилиндра $S$, а поршень удерживают в таком положении, что газ занимает объем $V$. Затем поршень отпускают, и он после нескольких колебаний занимает определенное положение. Пренебрегая теплообменом неона с окружающими телами, найдите его температуру при новом равновесном положении поршня, зная, что неон все время находится в газообразном состоянии, а давление вне цилиндра равно нулю.
Решение:
Поскольку цилиндр является гладким и его ось вертикальна, после отпускания поршня и установления в цилиндре термодинамического равновесия давление газа $p_{к}$ должно компенсировать действие сил тяжести на поршень (по условию задачи, давление вне цилиндра равно нулю): $p_{к}S = Mg$.
На основании уравнения Клапейрона-Менделеева находим объем, занимаемый газом после установления нового равновесного состояния: $V_{к} = \frac{ \nu RT_{к}}{p_{к}}$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, a $T_{к}$ - конечная температура неона. Следовательно, высота, на которой будет находиться поршень в конечном состоянии, больше первоначальной на величину $h = \frac{V_{к} - V}{S}$.
Как известно, неон (как и любой инертный газ) является одноатомным газом. Внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа равна $U = 1,5RT$ и не зависит от его объема.
На основании закона сохранения энергии можно записать $1,5 \nu R(T_{к} - T_{0}) = - Mgh$. Решая это уравнение с учетом составленных ранее соотношений, находим, что температура неона после установления нового равновесного состояния равна
$T_{к} = \frac{3T_{0} }{5} + \frac{2MgV}{5 \nu RS }$.
Из этого выражения следует, что поршень после отпускания не будет двигаться и температура неона не изменится, если в исходном состоянии $MgV = \nu RST_{0}$. Если же $MgV < \nu RST_{0}$, температура неона в конечном состоянии должна быть меньше первоначальной, а поршень должен был подняться вверх. В противном случае, конечная температура неона должна быть больше первоначальной. При этом увеличение внутренней энергии неона обусловлено работой над ним со стороны поршня, который в конечном состоянии должен оказаться на высоте, меньшей первоначальной.