2020-06-09
В столе, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси, сделана сферическая ямка, центр которой лежит на оси вращения. В ямке движется небольшая гладкая шайба, периодически проходя через ее нижнюю точку и поднимаясь относительно этой точки на максимальную высоту, много меньшую радиуса $R$ ямки. Двигаясь вверх, шайба в некоторый момент оказывается на высоте, в $k = 2$ раза меньшей максимальной. В следующий раз на этой же высоте шайба оказывается через $n$ оборотов стола. Найдите период обращения стола.
Решение:
По условию задачи, шайба, двигаясь по поверхности ямки, периодически поднимается на одну и ту же высоту. Поэтому нужно считать, что при своем движении шайба не испытывает действия неконсервативных сил, а так как шайба является гладкой, сила реакции со стороны поверхности ямки может быть направлена только к центру ямки по ее радиусу. Учитывая также направление силы тяжести, действующей на шайбу, можно утверждать, что шайба должна двигаться в вертикальной плоскости, проходящей через ось вращения стола и остающейся неподвижной, т.е. движение шайбы должно быть подобно движению грузика математического маятника.
По условию, максимальная высота подъема шайбы $h_{max} = (1 - \cos \alpha_{max} )R$ много меньше радиуса ямки $R$. Следовательно, максимальная величина угла, образуемого вертикалью и прямой, соединяющей шайбу с центром ямки (рис.), мала: $\alpha_{max} \ll 1$ рад, т.е. шайба совершает колебания с малой амплитудой. Тогда зависимость угла $\alpha$ от времени можно представить в виде $\alpha (t) = \alpha_{max} \cos \omega t$ (где $\omega$ - частота колебаний), если считать, что в момент времени $t = 0$ шайба находилась на максимальной высоте. Согласно этому закону движения, шайба должна находиться на высоте $h$ над дном ямки в такие моменты времени $\tau$, которые удовлетворяют уравнению $h( \tau ) = (1 - \cos \alpha( \tau ))R$, или, учитывая малость угла, $h( \tau ) = \frac{R \alpha_{max}^{2} \cos^{2} \omega \tau}{2}$. Поскольку $h( \tau ) = \frac{h_{max} }{k}$, получаем
$\tau = \pm \frac{1}{ \omega } arccos \sqrt{ \frac{1}{k} } + 2 \pi N$, где $N \in Z$.
Полагая, что при движении шайбы вверх угол $\alpha$ увеличивается, наиболее близкий к моменту времени $t = 0$ момент, когда движущаяся вверх шайба может оказаться на заданной высоте, равен $\tau_{1} = - \frac{1}{ \omega } arccos \sqrt{ \frac{1}{k} }$. Очевидно, что в следующий раз шайба окажется на той же высоте, двигаясь вниз, т.е. в момент времени $\tau_{2} = \frac{1}{ \omega } arccos \sqrt{ \frac{1}{k} }$. Так как за промежуток времени от $\tau_{1}$ до $\tau_{2}$ стол совершил $n$ оборотов, период обращения стола должен быть равен $T = \frac{2 \tau_{2}}{n}$. Учитывая, что частота малых колебаний равна $\omega = \sqrt{ \frac{g}{R}}$, находим искомый период обращения стола:
$T = \frac{2}{n} \sqrt{ \frac{R}{g} } arccos \sqrt{ \frac{1}{k} } = \frac{ \pi }{2n} \sqrt{ \frac{R}{g} }$.