2020-06-09
На гладкой невесомой нерастяжимой нити висит блок, к оси которого жестко прикреплен груз. Нить прикреплена к легким пружинам, другие концы которых закреплены на потолке так, что части нити, не лежащие на блоке, вертикальны и совпадают с осями пружин (рис.). Жесткость первой пружины $k_{1}$, второй $k_{2}$. Масса блока с грузом $M$. При какой амплитуде вертикальные колебания груза могут быть гармоническими?
Решение:
В положении равновесия сумма сил натяжения нити, действующих на блок, уравновешивает силу тяжести $M \vec{g}$, действующую на блок с прикрепленным к нему грузом. Поскольку нить гладкая, при смещении груза из положения равновесия блок не должен вращаться вокруг своей оси, а силы натяжения нити в точках, лежащих на горизонтальном диаметре блока, должны быть одинаковы. Более того, так как нить невесома, модуль силы натяжения нити при переходе от одной ее точки к другой должен оставаться постоянным. В силу нерастяжимости нити, отсутствия вращения блока вокруг своей оси и жесткой связи оси блока с грузом можно утверждать, что дополнительные деформации первой ($\Delta x_{1}$) и второй ($\Delta x_{2}$) пружин при смещении груза по вертикали из положения равновесия на величину $\Delta x$ должны удовлетворять соотношению $\Delta x = frac{ \Delta x_{1} + \Delta x_{2}}{2}$, причем $k_{1} \Delta x_{1} = k_{2} \Delta x_{2}$.
Поскольку в задаче спрашивается, при каких амплитудах вертикальные колебания груза могут быть гармоническими, силами сопротивления движению частей системы следует пренебречь. Тогда на основании закона сохранения механической энергии можно утверждать, что приращение потенциальной энергии системы при максимальном смещении груза из равновесного положения должно быть равно кинетической энергии системы в равновесном положении. Так как массой пружин и нити по условию задачи следует пренебречь, а груз и жестко связанный с ним блок движутся поступательно, максимальная кинетическая энергия равна
$W_{кmax} = \frac{Mv_{max}^{2}}{2}$,
где $v_{max}$ - максимальная скорость груза. При смещении груза вниз от равновесного положения на величину $\Delta x_{max}$ приращение потенциальной энергии будет равно
$\Delta W_{пmax} = - Mg \Delta x_{max} + \frac{k_{1} ( ( \Delta x_{1p} + \Delta x_{1max} )^{2} - \Delta x_{1p}^{2} ) }{2} + \frac{k_{2} ( ( \Delta x_{2p} - \Delta x_{2max} )^{2} - \Delta x_{2p}^{2} ) }{2}$,
где $k_{1} \Delta x_{1p} = k_{2} \Delta x_{2p} = 0,5Mg$ и $\Delta x_{1max} + \Delta x_{2max} = 2 \Delta x_{max}$. Учитывая, что при гармонических колебаниях $v_{max} = \omega \Delta x_{max}$, из закона сохранения энергии следует, что частота малых вертикальных колебаний груза равна
$\omega = 2 \sqrt{ \frac{k_{1}k_{2} }{(k_{1} + k_{2} )M} }$.
Наконец, поскольку максимальное ускорение груза, направленное вниз, не может превышать ускорения свободного падения (нить не может толкать блок вниз!) и амплитуда ускорения в $\omega^{2}$ раз больше амплитуды колебаний, т.е. $\omega^{2} \Delta x_{max} \leq g$, колебания груза могут оставаться гармоническими, если их амплитуда удовлетворяет неравенству
$\Delta x_{max} \leq \frac{k_{1} + k_{2} }{4k_{1}k_{2} } Mg$.