2020-06-09
На шероховатом горизонтальном дне бочки, заполненной водой, лежит диск толщиной $h = 4 мм$, изготовленный из материала с плотностью $\rho = 2,4 г/см^{3}$. Радиус диска $R = 15 см$. В бочку вертикально опустили тонкостенную трубку радиусом $r = 5 мм$, в которую вставлен поршень. Нижняя плоскость поршня совпадает с торцом трубки. Трубку плотно прижали к верхней плоскости диска так, что ее ось оказалась смещенной относительно оси диска на расстояние $b = 5,8 мм$. Затем поршень подняли вверх, зафиксировали и стали медленно поднимать трубку. На какой минимальной глубине будет находиться верхняя плоскость диска, когда он оторвется от трубки, если до момента отрыва вода не просачивалась в трубку? Атмосферное давление считать нормальным.
Решение:
Будем решать задачу, полагая, что бочка покоится относительно инерциальной системы отсчета, а подъем диска осуществляется столь медленно, что можно пренебречь силами сопротивления движению диска со стороны воды. Когда диск находился на дне бочки, на него действовали сила тяжести, сила реакции дна и сила Архимеда (из-за шероховатости дна). Считая воду несжимаемой и полагая плотность воды равной $\rho_{в} = 1 г/см^{3}$, получим, что равнодействующая сил тяжести и гидростатического давления в этом случае должна быть равна $F_{1} = \pi R^{2} h( \rho - \rho_{в} ) g$, где $g$ - ускорение свободного падения. В силу симметрии диска можно утверждать, что эта сила приложена к центру тяжести диска.
После того как к диску прижали трубку, поршень подняли вверх и диск оторвался от дна бочки, сила реакции дна стала равной нулю, а на участок верхней плоскости диска, ограниченный контуром трубки, стали действовать силы со стороны трубки. Действие же сил гидростатического давления воды на этот участок прекратилось. По условию задачи, вплоть до момента отрыва в трубке под поршнем не должно находиться никакого вещества, поэтому результирующая сил гидростатического давления воды, действующих на диск, когда его верхняя плоскость оказалась на глубине $x$, должна была уменьшиться по сравнению с действовавшей на лежавший на дне бочки диск на величину $F_{2} = \pi r^{2} ( \rho_{в}gx + p_{a})$, где $p_{a}$ - атмосферное давление. Ясно, что сила $F_{2}$ направлена вертикально вверх и приложена к точке диска, лежащей на его верхней плоскости и совпадающей с осью трубки.
На рисунке показано сечение бочки вертикальной плоскостью, проходящей через центр диска и ось трубки. Здесь же изображены силы, действующие на диск (за исключением сил реакции со стороны стенок трубки) для случая, когда диск уже не касается дна, но еще не отрывается от трубки. При отрыве на диск со стороны трубки может действовать только сила реакции, приложенная в точке А. Запишем условие отрыва диска от трубки в виде
$rF_{2} = (b + r)F_{1}$.
Подставляя в это выражение ранее найденные значения сил $F_{1}$ и $F_{2}$ и полагая $p_{a} = 1 атм$, a $g= 9,8 м/с^{2}$, определим искомую глубину отрыва:
$x = \left ( 1 + \frac{b}{r} \right ) \left ( \frac{ \rho }{ \rho_{в} } - 1 \right ) \frac{R^{2}h }{r^{2} } - \frac{p_{a} }{ \rho_{в}g } \approx 55 см$.