2020-06-09
Гладкая доска, лежащая на цилиндре, может свободно вращаться вокруг проходящей через ее конец оси, прикрепленной к столу. Ось цилиндра и ось вращения доски параллельны. Определите угловую скорость вращения доски в тот момент, когда цилиндр катится по столу без проскальзывания с угловой скоростью $\omega$, удаляясь от
закрепленного конца доски, а доска образует со столом угол $\alpha$ (рис.).
Решение:
На рисунке сплошной линией показано положение сечения цилиндра вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, в тот момент времени $t$, когда доска, лежащая
на нем, образует со столом угол $\alpha$. Пунктирной линией изображено положение указанного сечения по прошествии небольшого промежутка времени $\Delta t$. Считая (как обычно это и делается при решении подобных задач) цилиндр, стол и доску твердыми телами, можно утверждать, что прямая, проходящая через вершину угла и центр сечения цилиндра, является биссектрисой угла $\alpha$.
Поскольку цилиндр катится по столу без проскальзывания с угловой скоростью $\omega$ и его ось остается параллельной оси вращения доски, ось цилиндра за промежуток времени $\Delta t$ переместится на расстояние $\Delta s = r \omega \Delta t$, где $r$ - радиус цилиндра, а доска повернется на угол $\Delta \alpha$. Учитывая, что выбранный промежуток времени $\Delta t$ достаточно мал, можно считать, что угол $\Delta \alpha$ мал и вращение доски в течение этого промежутка времени неотличимо от равномерного. Поэтому, если искомую скорость вращения доски обозначить $\Omega$, то $\Delta \alpha = \Omega \Delta t$. С другой стороны, из геометрии получим
$r \left ( ctg \frac{ \alpha - \Delta \alpha }{2} - ctg \frac{ \alpha }{2} \right ) = r \omega \Delta t$.
Поскольку $ctg \alpha - ctg \beta = \frac{ \sin ( \beta - \alpha ) }{ \sin \alpha \sin \beta }$, а синус малого угла paвен самому углу (измеренному в радианной мере), искомая угловая скорость равна
$\Omega = 2 \omega \sin^{2} \frac{ \alpha }{2}$.