2020-06-09
С горизонтальной поверхности земли бросили мяч, и он упал на землю со скоростью $v = 9,8 м/с$ под углом $\beta = 30^{ \circ}$ к горизонту. Величина вертикальной составляющей скорости в точке бросания на 20 ' больше, чем в точке падения. Найдите продолжительность $t$ полета. Считайте силу сопротивления пропорциональной скорости мяча: $\vec{F}_{c} = - k \vec{v}$ ($k > 0$). Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Ускорение мяча в любой момент времени определяется силой тяжести и силой сопротивления:
$\frac{ \Delta \vec{v} }{ \Delta t} = \vec{g} - \frac{k}{m} \vec{v}$,
где $m$ - масса мяча. Найдем приращение скорости мяча за любой элементарный промежуток времени $\Delta t$:
$\Delta \vec{v} = \left ( \vec{g} - \frac{k}{m} \vec{v} \right ) \Delta t$
и за время полета $t$:
$\vec{v}(t) - \vec{v}_{0} = \sum \left ( \vec{g} - \frac{k}{m} \vec{v} \right ) \Delta t = \vec{g} t - \frac{k}{m} \sum \vec{v} \Delta t = \vec{g} t - \frac{k}{m} \vec{s} (t)$.
По условию, перемещение мяча $\vec{s}(t) = \sum \vec{v} \Delta t$ за время полета - это горизонтальный вектор. Переходя в полученном соотношении к проекциям векторов на вертикальную ось, получаем
$t = \frac{2,2v \sin \beta }{g} = 1,1 с$.
В заключение отметим, что кинематические соображения позволяют решать не только задачи физики. Например, при решении геометрических задач бывает полезно представить себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться.