2020-06-09
На крышу дома высотой $H$ с расстояния $L$ от него мальчик хочет забросить мяч. При какой минимальной величине начальной скорости $v_{0min}$ это возможно? Под каким углом $\alpha$, следует в этом случае бросить мяч? Ускорение свободного падения равно $g$. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
Решение:
Через точки старта и окончания полета (рис.) проведем прямую ОА, которая образует угол $\beta$ с горизонтальной прямой. Перемещение мяча за время полета $t$ равно
$\vec{r}(t) = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g} t^{2} }{2}$
(считаем $\vec{r}_{0} = \vec{0}$). Как видим, проекции векторов $\vec{v}_{0}t$ и $\frac{ \vec{g} t^{2}}{2}$ на направление нормали к прямой ОА равны:
$v_{0}t \sin ( \alpha - \beta) = \frac{gt^{2} }{2} \cos \beta$,
откуда находим продолжительность полета мяча:
$t = \frac{2v_{0} }{g} \frac{ \sin ( \alpha - \beta ) }{ \cos \beta }$.
С учетом выражения для времени полета последнее соотношение перепишем в виде
$\sqrt{H^{2} + L^{2} } = \frac{v_{0}^{2} }{g \cos^{2} \beta } ( \sin (2 \alpha - \beta ) - \sin \beta )$.
Наименьшему значению начальной скорости соответствует угол бросания $\alpha_{*}$, такой, при котором множитель в скобках в последнем соотношении принимает наибольшее значение:
$\sin ( 2 \alpha_{*} - \beta ) = 1, 2 \alpha_{*} - \beta = \frac{ \pi }{2}, \alpha_{*} = \frac{ \pi }{4} + \frac{ \beta }{2}$.
Тогда
$v_{0min}^{2} = g \sqrt{H^{2} + L^{2} } \frac{ \cos^{2} \beta }{1 - \sin \beta }$.
С учетом равенства $tg \beta = \frac{H}{L}$ получаем
$v_{0min}^{2} = g ( \sqrt{H^{2} + L^{2} } + H )$,
и окончательно
$v_{0min} = \sqrt{g( \sqrt{H^{2} + L^{2} } + H ) }$.