2020-05-14
Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с малым затуханием, изображенном на рисунке, индуктивность катушки быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают на небольшую величину $\Delta L$ ($\Delta L \ll L$) каждый раз, когда ток в цепи равен нулю, а через время, равное четверти периода колебаний, так же быстро возвращают в исходное состояние. Определите величину $\Delta L$, если $L = 0,15 Гн, C = 1,5 \cdot 10^{-7} Ф, R = 20 Ом$.
Решение:
При быстром изменении индуктивности катушки $L$ сохраняется магнитный поток $\Phi$, пронизывающий катушку. Если через катушку течет ток $I$, энергия магнитного поля катушки равна
$W_{L} = \frac{LI^{2} }{2} = \frac{ \Phi^{2 }}{2L}$.
Изменение индуктивности в этот момент на $\Delta L$ ($\Delta L > 0$) приводит к изменению энергии, запасенной в контуре, на
$- \frac{ \Phi^{2} }{2L^{2}} \Delta L = - \frac{I^{2} }{2} \Delta L$.
В нашем случае при максимальном токе $I_{0}$ в катушке происходит уменьшение индуктивности, и, следовательно, в контур закачивается энергия
$\Delta W_{L} = \frac{I_{0}^{2} }{2} \Delta L$.
Это происходит через каждые полпериода колебаний тока в контуре, т.е. через $\tau = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{LC}$. При нулевых значениях тока в контуре возвращение индуктивности к прежнему значению не изменяет энергии катушки. За время $\tau$ в контуре происходят тепловые потери на резисторе, равные
$\Delta W_{R} = \frac{I_{0}^{2}}{2} R \tau = \frac{ \pi \sqrt{LC} }{2} I_{0}^{2}R$.
Условие поддержания незатухающих колебаний имеет вид
$\Delta W_{L} \geq \Delta W_{R}$.
Отсюда получаем
$\Delta L \geq \pi R \sqrt{LC} \approx 9,4 \cdot 10^{-3} Гн$.