2020-05-14
На физической олимпиаде, проходившей в Московском физико-техническом институте в 1998 году, школьникам была предложена такая экспериментальная задача: с помощью штангенциркуля измерить длину волны лазерного излучения. В качестве лазера использовался миниатюрный твердотельный квантовый генератор. Один из участников олимпиады собрал экспериментальную установку, изображенную на рисунке. На горизонтальной поверхности стола, примыкающего к вертикальной стене комнаты, лежит штангенциркуль Ш. Излучение лазера Л, укрепленного на штативе, падает поперек миллиметровым рискам штангенциркуля. На миллиметровой бумаге, закрепленной на стене, наблюдается система дифракционных максимумов в виде светлых горизонтальных линий. Были проведены три замера: высота самой яркой линии (луч 1) $h_{0} = 31 мм$, высота шестого дифракционного максимума (луч 2) $h_{6} = 68 мм$ и расстояние $L = 695 мм$. По этим данным определите длину волны лазерного излучения.
Решение:
Идея решения задачи понятна: использовать штангенциркуль с нанесенными на нем миллиметровыми рисками в качестве отражательной дифракционной решетки. Диаметр светового пучка лазера на расстоянии 1 м составляет $\sim$ 4 мм, поэтому для увеличения числа рисок, освещаемых падающим пучком света, угол падения $\phi_{0}$ должен быть близок к $\pi /2$.
Рассмотрим ход лучей, рассеянных на двух соседних рисках (рис.). Расстояние между соседними штрихами (постоянная решетки) $d = 1 мм$. Обозначим угол падения лучей 1 и 2 через $\phi_{0}$, а угол отражения лучей $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$ - через $\phi_{m}$, и пусть угол $\phi_{m}$ соответствует направлению на $m$-й дифракционный максимум. Разность хода лучей $1,1^{ \prime}$ и $2,2^{ \prime}$ равна
$\Delta = d \sin \phi_{0} - d \sin \phi_{m}$.
Если угол $\phi_{m}$ соответствует направлению на $m$-й главный дифракционный максимум, то $\Delta = m \lambda$, где $\lambda$ - длина волны света. Таким образом,
$d \sin \phi_{0} - d \sin \phi_{m} = m \lambda$,
где $m = 0, 1, 2 \cdots$
Очевидно, что направление на максимум нулевого порядка ($m = 0$) имеет место при $\phi_{m} = \phi_{0}$, т.е. когда происходит зеркальное отражение. Если высота расположения максимума $h_{0}$, то
$\sin \phi_{0} = \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + h_{0}^{2} } }$.
Для высоты расположения максимума шестого порядка ($m = 6$)
$\sin \phi_{6} = \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + h_{6}^{2} } }$.
Условие направления на главные дифракционные максимумы позволяет определить длину волны света:
$\lambda = \frac{dL }{6} \left ( \frac{1}{ \sqrt{L^{2} + h_{0}^{2} } } - \frac{1}{ \sqrt{L^{2} + h_{6}^{2} } } \right )$.
Поскольку $h_{0}$ и $h_{6}$ много меньше $L$, можно записать
$\lambda = \frac{d(h_{6} - h_{0} )(h_{6} + h_{0} )}{12L^{2} } = 632 нм$.
С учетом погрешностей измерений окончательно получим
$\lambda = (630 \pm 50) нм$.