2020-05-14
Для исследования спектрального состава излучения источника используется интерферометр Майкельсона (рис.). Точечный источник S расположен в фокальной плоскости линзы $Л_{1}$. Слаборасходящийся пучок света разделяется делителем D на два одинаковых по интенсивности пучка. Один из них (отраженный от делителя) направляется на неподвижное зеркало $З_{1}$, а второй после прохода делителя идет к зеркалу $З_{2}$, которое перемещается со скоростью $v = 6 \cdot 10^{-5} мм/с$. После отражения от зеркал и последующего взаимодействия с делителем образуются два когерентных пучка, которые с помощью линзы $Л_{2}$ собираются на фотоприемник П. Ток фотоприемника пропорционален интенсивности падающего на него излучения. На рисунке показан график изменения фототока приемника, когда излучение источника содержит две близкие спектральные линии одинаковой интенсивности с длинами волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ ($\lambda_{2} - \lambda_{1} \ll \lambda_{1}$). Определите значения этих длин волн.
Решение:
Рассмотрим квазимонохроматическое излучение с длиной волны $\lambda_{1}$. Пусть интенсивность этого излучения равна $I_{0}$. Очевидно, что интенсивность каждого из двух когерентных пучков, фокусируемых линзой $Л_{2}$ на фотоприемник, равна $\frac{I_{0}}{4}$. Если в данный момент времени длины плеч интерферометра (расстояния от делителя до зеркал) равны ОА и ОВ, то разность хода между нашими двумя волнами составляет $\delta = 2(OA - OB)$, где множитель "2" учитывает распространение волны к зеркалу и обратно, фазовый сдвиг равен $\delta \phi = \frac{2 \pi \delta }{ \lambda_{1}}$, суммарная интенсивность этих волн равна
$I_{1}(t) = \frac{I_{0} }{4} + \frac{I_{0} }{4} + 2 \frac{ \sqrt{I_{0} } }{2} \frac{ \sqrt{I_{0} } }{2} \cos \left ( \frac{2 \pi }{ \lambda_{1} } \delta \right ) = \frac{I_{0} }{2} \left ( 1 + \cos \left ( \frac{2 \pi}{ \lambda_{1} } \delta \right ) \right )$.
Введем обозначения: $\lambda_{2} - \lambda_{1} = \Delta \lambda$ и $\lambda_{1} + \lambda_{2} = 2 \lambda$, откуда $\lambda_{1} = \bar{ \lambda} - \frac{ \Delta \lambda }{2}, \lambda_{2} = \bar{ \lambda} + \frac{ \Delta \lambda }{2}$, где $\bar{ \lambda}$ - средняя длина волны. После подстановки выражения для $\lambda_{1}$ суммарная интенсивность $I_{1}(t)$ будет
$I_{1}(t) = \frac{I_{0} }{2} \left ( 1 + \cos \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \bar{ \lambda} - \frac{ \Delta \lambda }{2} } \right ) \right ) \approx \frac{I_{0} }{2} \left ( 1 + \cos \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \lambda } + \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \lambda^{2} } \right ) \right ) = \frac{I_{0} }{2} + \frac{I_{0} }{2} \cos \left ( \frac{ 2 \pi \delta }{ \bar{ \lambda} } \right ) \cos \left ( \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \bar{ \lambda}^{2} } \right ) \pm \frac{I_{0} }{2} \sin \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \bar{ \lambda } } \right ) \sin \left ( \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \bar{ \lambda }^{2} } \right )$.
Аналогично, для излучения с длиной волны $\lambda_{2}$ получим
$I_{2}(t) = \frac{I_{0} }{2} \left ( 1 + \cos \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \lambda + \frac{ \Delta \lambda }{2} } \right ) \right ) \approx \frac{I_{0} }{2} \left ( 1 + \cos \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \bar{ \lambda} } \pm \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \bar{ \lambda }^{2} } \right ) \right ) = \frac{I_{0} }{2} + \frac{I_{0} }{2} \cos \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \lambda } \right ) \cos \left ( \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \bar{ \lambda }^{2} } \right ) + \frac{I_{0} }{2} \sin \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \lambda } \right ) \sin \left ( \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \bar{ \lambda }^{2} } \right )$.
Суммарная интенсивность света на приемнике от излучений с обеими длинами волн будет
$I(t) = I_{1}(t) + I_{2}(t) = I_{0} + I_{0} \cos \left ( \frac{2 \pi \delta }{ \bar{ \lambda} } \right ) \cos \left ( \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \bar{ \lambda}^{2} } \right )$.
Первый переменный сомножитель во втором члене этого выражения описывает высокочастотное периодическое колебание фототока, а второй сомножитель соответствует низкочастотной огибающей. По графику зависимости $I(t)$ находим, что период высокочастотных колебаний равен $T = 5 с$. За это время разность хода $\delta$ изменяется на $\bar{ \lambda}$, что соответствует перемещению подвижного зеркала на $\frac{ \bar{ \lambda}}{2}$. Расстояние, пройденное зеркалом за время $T$, очевидно, равно $Tv$. Таким образом, $\frac{ \bar{ \lambda } }{2} = Tv$, откуда
$\bar{ \lambda} = 2Tv = 6 \cdot 10^{-5} см = 600 нм$.
Как мы уже отмечали, функция $\cos \left ( \frac{ \pi \delta \Delta \lambda }{ \bar{ \lambda}^{2} } \right )$ описывает огибающую высокочастотного сигнала. Из рисунка можно найти, что за время, равное $14T$, фаза изменяется на $\pi$, а разность хода - на $\frac{ \lambda^{2}}{ \Delta \lambda }$. Подвижное зеркало проходит за это время в два раза меньшее расстояние. Итак, $\frac{ \bar{ \lambda}^{2}}{2 \Delta \lambda} = 14Tv$, откуда
$\Delta \lambda = \frac{ \bar{ \lambda}^{2} }{28Tv} \approx 43 нм$.
Таким образом, длины волн спектральных линий равны, соответственно,
$\lambda{1} = \bar{ \lambda} - \frac{ \Delta \lambda }{2} = 578,5 нм$,
$\lambda{2} = \bar{ \lambda} + \frac{ \Delta \lambda }{2} = 621,5 нм$,