2020-05-14
Две батареи с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ включены в схему, параметры которой указаны на рисунке, причем $R_{1} = R_{2} = R_{3} = R$. В начальный момент времени ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ разомкнуты, а конденсаторы не заряжены. Ключи одновременно замыкают. 1) Найдите начальный ток через резистор $R_{1}$. 2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после замыкания ключей? Внутренним сопротивлением батарей пренебречь.
Решение:
1) Эквивалентная схема сразу после одновременного замыкания ключей $K_{1}$ и $K_{2}$ показана на рисунке. Для определения начального тока через резистор $R_{1}$ запишем систему уравнений:
$\begin{cases} \mathcal{E}_{1} = I_{1}R_{1} + I_{2}R_{2}, \\ \mathcal{E}_{2} = I_{1}R_{1} + I_{3}R_{3}, \\ I_{1} = I_{2} + I_{3}. \end{cases}$
Здесь первое уравнение - это закон Ома для левого контура, второе уравнение - закон Ома для правого контура, третье уравнение - закон сохранения заряда. Совместное решение этой системы уравнений позволяет найти ток $I_{1}$:
$I_{1} = \frac{R_{2} \mathcal{E}_{2} + R_{3} \mathcal{E}_{1} }{R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3} + R_{2}R_{3} } = \frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{3R}$.
2) После установления стационарного состояния напряжения на конденсаторах будут а заряды
$U_{C_{1}} = \mathcal{E}_{1}, U_{C_{2}} = \mathcal{E}_{2}$,
а заряды -
$q_{1} = C_{1}U_{C_{1} } = C_{1} \mathcal{E}_{1}$,
$q_{2} = C_{2}U_{C_{2} } = C_{2} \mathcal{E}_{2}$,
Работа, совершенная источниками, равна
$A = q_{1} \mathcal{E}_{1} + q_{2} \mathcal{E}_{2} = C_{1}\mathcal{E}_{1}^{2} + C_{2} \mathcal{E}_{2}^{2}$.
Эта работа равна сумме энергии, запасенной в конденсаторах, и количества теплоты, выделившегося в резисторах. Энергии конденсаторов равны
$W_{1} = \frac{q_{1}^{2} }{2C_{1} }$ и $W_{2} = \frac{q_{2}^{2} }{2C_{2} }$.
Значит, в схеме выделяется количество теплоты
$Q = A - (W_{1} + W_{2}) = \frac{C_{1} \mathcal{E}_{1}^{2} + C_{2} \mathcal{E}_{2}^{2} }{2}$.