2020-05-14
В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС $\mathcal{E} = 20 В$, резисторов с сопротивлениями $R_{1} = 10 Ом, R_{2} = 20 Ом, R_{3} = 30 Ом$ и конденсатора, замыкают ключ К (рис.). 1) Найдите ток через резистор $R_{3}$ сразу после замыкания ключа. 2) Определите ток через батарею в тот момент времени, когда напряжение на конденсаторе станет равным $\frac{3}{5} \mathcal{E}$. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Решение:
1) До замыкания ключа часть электрической схемы находится в стационарном режиме: через резисторы и батарею течет постоянный ток
$I = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1} + R_{2} }$,
конденсатор $C$ заряжен до напряжения
$U_{C} = IR_{2} = \frac{R_{2} \mathcal{E} }{ R_{1} + R_{2} } = \frac{40}{3} В \approx 13,3 В$.
Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе останется неизменным, и через резистор $R_{3}$ потечет ток (сверху вниз)
$I_{3} = \frac{U_{C}}{R_{3} } = \frac{R_{2} \mathcal{E}}{R_{3}(R_{1} + R_{2} ) } = \frac{40}{9} А \approx 0,44 А$.
2) Сначала разберемся, в каком режиме будет находиться наша схема: то ли это будет переходной процесс, то ли стационарный режим. Для этого найдем установившееся напряжение на конденсаторе в стационарном режиме. Эквивалентная схема, соответствующая этому случаю, будет иметь вид, изображенный на рисунке. Общее сопротивление цепи равно
$R_{общ} = R_{1} + \frac{R_{2}R_{3} }{R_{2} + R_{3} }$,
через резистор $R_{1}$ течет ток
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{общ} } = \frac{(R_{2} + R_{3} ) \mathcal{E} }{R_{1}(R_{2} + R_{3} ) + R_{2}R_{3} }$.
напряжение на этом резисторе равно
$U_{1} = I_{1}R_{1} = \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3} ) \mathcal{E} }{R_{1}(R_{2} + R_{3} ) + R_{2}R_{3} }$,
а на резисторах $R_{2}$ и $R_{3}$ (такое же, как на конденсаторе) -
$U_{2} = U_{3} = U_{C} = \mathcal{E} - U_{1} = \frac{R_{2}R_{3} \mathcal{E} }{R_{1}(R_{2} + R_{3} ) + R_{2}R_{3} } = \frac{120}{11} В \approx 11 В$.
Поскольку нас интересует напряжение $U_{C} = \frac{3}{5} \mathcal{E} = 12 В$, очевидно, что состояние системы соответствует переходному процессу. В этот момент напряжение на резисторе $R_{1}$ равно
$U_{1}^{ \prime} = \mathcal{E} - U_{C} = \frac{2}{5} \mathcal{E}$,
следовательно, через резистор $R_{1}$ и через батарею течет ток
$I_{б} = I_{1} = \frac{U_{1}^{ \prime} }{R_{1} } = \frac{2 \mathcal{E} }{5R_{1} } = 0,8 А$.