2020-05-14
В схеме на рисунке ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ разомкнуты, а конденсаторы не заряжены. Ключ $K_{1}$ замыкают, оставляя $K_{2}$ разомкнутым. 1) Какие напряжения установятся на конденсаторах? 2) Какой заряд протечет через ключ $K_{2}$, если его замкнуть (при замкнутом ключе $K_{1}$)? Параметры схемы указаны на рисунке.
Решение:
1) В установившемся режиме после замыкания ключа $K_{1}$ общее напряжение на конденсаторах будет равно суммарному падению напряжения на резисторах:
$U_{общ} = \frac{3R \mathcal{E} }{r + 3R}$.
Поскольку суммарная емкость конденсаторов $C_{о6щ} = \frac{2C}{3}$, заряды на конденсаторах равны
$q_{1} = q_{2} = C_{общ}U_{общ} = \frac{2RC \mathcal{E} }{r + 3R} $,
а напряжения составляют
$U_{1} = \frac{q_{1} }{C} = \frac{2R \mathcal{E} }{r + 3R}$
и
$U_{2} = \frac{q_{2} }{2C} = \frac{R \mathcal{E} }{r + 3R}$.
2) До замыкания ключа $K_{2}$ на верхней пластине конденсатора $C$ (более точно - конденсатора емкостью $C$) находился заряд $-q_{1}$, а на верхней пластине второго конденсатора - заряд $+q_{2}$. После замыкания ключа $K_{2}$ и установления нового стационарного состояния напряжения на конденсаторах изменятся и будут равны
$U_{1}^{ \prime} = \frac{R \mathcal{E}}{r + 3R }$ и $U_{2}^{ \prime} = \frac{2R \mathcal{E} }{r + 3R}$.
Новый заряд на верхней пластине конденсатора $C$ будет $q_{1}^{ \prime} = -U_{1}^{ \prime} C$, а на верхней пластине второго конденсатора будет заряд $q_{2}^{ \prime} = + U_{2}^{ \prime} \cdot 2C$. Очевидно, что через ключ $K_{2}$ протечет заряд
$Q = (q_{1}^{ \prime} + q_{2}^{ \prime} ) - (q_{1} + q_{2} ) = \frac{3RC \mathcal{E} }{ r + 2R }$.