2020-05-14
В электрической схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ К разомкнут, а конденсатор не заряжен. Параметры схемы указаны на рисунке. Найдите зависимость от времени тока через батарею после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь ($r = 0$).
Решение:
Сразу оговоримся, что решение этой задачи выходит за рамки школьной программы, но интерес представляет не само решение, а физическая сторона переходных процессов и та роль, которую выполняют конденсаторы в подобных цепях.
Рассмотрим произвольный момент времени после замыкания ключа, причем за начало отсчета времени возьмем момент окончания первого этапа - установления начальных значений токов и напряжений. Именно начиная с этого момента в цепи будет идти квазистационарный процесс.
Согласно рисунку, для произвольного момента времени можно записать:
$\mathcal{E} = U_{C} + I_{2}R_{2}$,
$\mathcal{E} = I_{1}R_{1}$,
$I_{б} = I_{1} + I_{2}$,
$I_{2} = C \frac{dU_{C} }{dt}$.
Первое уравнение - это закон Ома для контура, содержащего батарею, конденсатор и резистор $R_{2}$, второе - закон Ома для контура, охватывающего батарею и резистор $R_{1}$, третье - закон сохранения заряда, четвертое - связь между током $I_{2}$ и изменением напряжения на конденсаторе. Продифференцировав первое уравнение по времени и решая его совместно с остальными тремя уравнениями, получим дифференциальное уравнение относительно тока через батарею:
$\frac{dI_{б} }{dt} + \frac{1}{R_{2}C }I_{б} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1}R_{2}C }$.
Семейство решений этого уравнения имеет вид
$I_{б}(t) = Ae^{ - \frac{t}{ \tau} } + \frac{ \mathcal{E} }{R_{1} }$,
где $A$ - произвольная константа, $\tau = R_{2}C$ - постоянная времени. Константа $A$ определяется начальным током $I_{б}(0)$. При $r = 0$ получим
$I_{б}(0) = \frac{(R_{1} + R_{2} ) \mathcal{E} }{R_{1}R_{2} }$.
Для данного начального тока зависимость тока через батарею от времени запишется в виде
$I_{б}(t) = \frac{ \mathcal{E}}{R_{1}} \left ( 1 + \frac{R_{1} }{R_{2} }e^{ - \frac{t}{R_{2}C } } \right )$.
Постоянная времени $\tau = R_{2}C$ является характерным временем данного переходного процесса. При $t \ll R_{2}C$ ток через батарею практически не успевает заметно измениться, а при $t \gg R_{2}C$ можно считать, что переходной процесс закончился и через батарею течет постоянный ток $I_{б} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{1}}$. График
зависимости $I_{б}(t)$ показан на рисунке.
На примере разобранной схемы мы рассмотрели все три процесса. До замыкания ключа ток через батарею равен нулю, сразу после замыкания ток скачком возрастает до значения $I_{б}(0) = \frac{(R_{1} + R_{2} ) \mathcal{E} }{R_{1}R_{2} }$, затем по экспоненте спадает до установившегося значения $I_{б}( \infty ) = \frac{ \mathcal{E}}{R_{1}}$.