2020-05-14
Незаряженный плоский конденсатор емкостью $C_{1}$ находится во внешнем однородном электрическом поле $\vec{E}_{0}$ (рис.). Силовые линии электрического поля перпендикулярны пластинам конденсатора, расстояние между пластинами $d$. Конденсатор емкостью $C_{2}$, заряженный до разности потенциалов $U_{0}$, подключается к конденсатору емкостью $C_{1}$. Определите заряды конденсаторов после подключения. Величиной внешнего электрического поля в месте нахождения конденсатора емкостью $C_{2}$ можно пренебречь.
Решение:
После соединения конденсаторов начальный заряд второго конденсатора $q_{0} = C_{2}U_{0}$ перераспределится между обоими конденсаторами так, что разности потенциалов на них уравняются. Обозначим установившиеся заряды через $q_{1}$ и $q_{2}$. По закону сохранения заряда,
$q_{1} + q_{2} = C_{2}U_{0}$. (1)
Из принципа суперпозиции электрических полей следует, что разность потенциалов между пластинами первого конденсатора будет равна
$\Delta \phi_{1} = E_{0}d + \frac{q_{1} }{C_{1} }$.
Между пластинами второго конденсатора установится разность потенциалов
$\Delta \phi_{2} = \frac{q_{2} }{C_{2} }$.
Приравняв $\Delta \phi_{1}$ к $\Delta \phi_{2}$, получаем
$E_{0}d + \frac{q_{1} }{C_{1} } = \frac{q_{2} }{C_{2} }$. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет определить заряды $q_{1}$ и $q_{2}$:
$q_{1} = \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } (U_{0} + E_{0}d )$,
$q_{2} = \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } \left (U_{0} \frac{C_{2} }{C_{1} } - E_{0}d \right ) $.