2020-05-14
Моль гелия из начального состояния 1 с температурой $T_{1} = 100 К$, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в равновесное состояние 2. Этот процесс происходит без подвода либо отвода тепла. Затем газ сжимают в процессе 2-3 линейной зависимости давления от объема и, наконец, по изохоре 3-1 возвращают в исходное состояние 1 (рис.). Найдите работу, совершенную газом при расширении через турбину в переходе 1-2, если в процессах 2-3 и 3-1 к газу в итоге было подведено количество теплоты $Q = 72 Дж$. Известно, что $T_{2} = T_{3}$ и $\frac{V_{2}}{V_{3}} = 3$.
Решение:
Хотя процесс расширения 1-2 через турбину необратим, но, если начальное и конечное состояния равновесны, по закону сохранения энергии можно утверждать, что работа, совершенная в этом процессе, равна изменению внутренней энергии газа:
$A_{12} = - C_{V}(T_{2} - T_{1} ) = C_{V} (T_{1} - T_{2} )$.
На участке сжатия 2-3 теплоемкость не остается постоянной, однако внутренняя энергия газа не изменяется ($T_{2} = T_{3}$). Поэтому итоговое отведенное на этом участке количество теплоты численно равно работе сжатия:
$Q_{23} = RT_{2} \frac{ \left ( \frac{V_{2}}{V_{3}} \right )^{2} - 1}{2 \frac{V_{2} }{V_{3} } }$
(см., например, задачу 2). Чтобы упростить дальнейшие выкладки, подставим отношение объемов $\frac{V_{2}}{V_{3}} = 3$:
$Q_{23} = \frac{4}{3} RT_{2}$.
На участке изохорического нагрева 3-1 к газу подводится количество теплоты
$Q_{31} = C_{V} (T_{1} - T_{3}) = C_{V}(T_{1} - T_{2} ) $.
По условию,
$Q = Q_{31} - Q_{23} = \frac{3}{2} R(T_{1} - T_{2} ) - \frac{4}{3} RT_{2}$,
откуда находим
$RT_{2} = \frac{9}{17} RT_{1} - \frac{6}{17} Q$.
Окончательно для работы расширения через турбину имеем
$A_{12} = \frac{3}{2} R(T_{1} - T_{2} ) = \frac{12}{17} RT_{1} + \frac{9}{17}Q = 625 Дж$.