2020-05-14
Моль гелия из начального состояния с температурой $T = 300 К$ расширяется в адиабатическом процессе так, что относительное изменение его давления составило $\frac{ \Delta p}{p} = \frac{1}{120}$. Найдите работу, совершенную газом, если относительные изменения его температуры и объема оказались также малыми.
Решение:
По условию, изменение объема газа мало, поэтому для адиабатического процесса элементарная работа равна
$A = p \Delta V = - C_{V} \Delta T$.
Изменения давления $\Delta p$, объема $\Delta V$ и температуры $\Delta T$ связаны уравнением состояния
$(p + \Delta p)(V + \Delta V) = R(T + \Delta T)$.
Пренебрегая произведением малых величин $\Delta p \Delta V$, находим
$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T$.
Исключим из последнего равенства $V \Delta p$ с помощью уравнения состояния:
$V \Delta p = \frac{pV}{p} \Delta p = RT \frac{ \Delta p}{p}$
и воспользуемся выражением для работы:
$A + RT \frac{ \Delta p}{p} = \frac{R}{C_{V} } C_{V} \Delta T = \frac{R}{C_{V} } A$.
Окончательно получаем
$A = \frac{C_{V} }{C_{V} + R } RT \frac{ \Delta p}{p} = 12,5 Дж$.
(Зная уравнениее адиабаты для идеального газа, результат может получить с помощью этого уравнения и уравнения состояния.)