2020-05-14
Вершины замкнутого цикла, состоящего из четырех участков линейной зависимости давления от объема, лежат на двух изотермах с известными температурами $T_{1}$ и $T_{2}$ (рис.). Прямые 1-2 и 3-1 проходят через начало координат, объемы $V_{2}$ и $V_{4}$ равны. Найдите работу одного моля газа в замкнутом цикле.
Решение:
Работы на участках 1-2 и 3-4 одинаковы по величине (см., например, задачу 1). Поэтому работа в цикле равна
$A = A_{23} - A_{41}$.
При этом
$A_{23} = RT_{2} \frac{ \left ( \frac{V_{3} }{V_{2} } \right )^{2} - 1 }{2 \frac{V_{3} }{V_{2} } } = RT_{2} \frac{ \left ( \frac{V_{3} }{V_{4} } \right )^{2} - 1 }{2 \frac{V_{3} }{V_{4} } } = RT_{2} \frac{ \frac{T_{2} }{T_{1} } - 1 }{1 \frac{ \sqrt{T_{2} } }{ \sqrt{T_{1} } } }$
(по условию $\frac{p_{3}}{V_{3}} = \frac{p_{4}}{V_{4}}$, следовательно, $\frac{T_{1} }{V_{4}^{2} } = \frac{T_{2}}{V_{3}^{2}}$ ) и, аналогично,
$A_{41} = RT_{1} \frac{ \frac{T_{2} }{T_{1} } - 1 }{2 \frac{ \sqrt{T_{2} } }{ \sqrt{T_{1} } } }$.
Окончательно работа в цикле 1-2-3-4-1 равна
$A = R \frac{R(T_{2} - T_{1})^{2}}{2 \sqrt{T_{2}T_{1} } }$.