2020-05-14
"Ванька-встанька" стоит на вершине неподвижного шара. Радиусы шара и основания "ваньки-встаньки" одинаковы и равны $r$. Максимальный угол, на который можно отклонить от вертикали игрушку так, чтобы она не упала с шара, равен $\alpha_{0}$ (проскальзывания нет). Найдите, где расположен центр тяжести "ваньки-встаньки".
Решение:
Эта задача знакомит нас с еще Одним понятием, важным для изучения равновесия тел. Речь идет о границах области устойчивости равновесного положения тела. Действительно, надо представлять, сколь большим может быть отклонение тела от положения равновесия, при котором оно, предоставленное потом самому себе, вернется в это положение. В случае достаточно больших отклонений тело потом сможет занять новое положение равновесия или будет совершать колебания около него. Равновесия может и не быть вовсе: любое новое положение тела оказывается неустойчивым.
Определять границы области устойчивости - это, как правило, задача более трудная, чем исследовать устойчивость тела, когда есть малый параметр - угол отклонения от положения равновесия. В качестве примера рассмотрим равновесие "ваньки-встаньки" на вершине неподвижной сферы радиусом $R$. По условию, радиус основания "ваньки-встаньки" $r = R$. Отклоним игрушку на угол $\alpha$ относительно равновесного вертикального положения. Смещение центра тяжести $\Delta H$ по вертикали равно
$\Delta H = \Delta h_{1} + \Delta h_{2} = - r - x - 2r \cos \alpha - r \cos 2 \alpha + x \cos 2 \alpha = - 4 r \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} + 2(r -x) \sin^{2} \alpha$,
где $x$ - искомая величина расстояния СР от точки контакта игрушки с опорой (в положении равновесия) до центра тяжести. По условию, качение игрушки на опоре происходит без проскальзывания.
Как видно из формулы для $\Delta H$, у игрушки с высоко расположенным центром тяжести, т.е. когда $x = r$, величина $\Delta H$ всегда отрицательна, поэтому равновесие неустойчивое. Но при небольших значениях $x$, т.е. когда центр тяжести "ваньки-встаньки" находится вблизи его основания, величина $\Delta H$ положительна, и игрушка на вершине сферы находится в равновесии. При ее отклонении на угол $\alpha$ она возвращается в исходное положение, если угол $\alpha$ не слишком велик. С ростом угла $\alpha$ центр тяжести игрушки поднимается, достигает максимальной высоты (при некотором угле $\alpha_{0}$) и далее начинает опускаться. Как обычно при поиске экстремума, величина $\alpha_{0}$ определяется из условия $\frac{dH}{d \alpha} = 0$, откуда находим
$\cos \alpha_{0} = \frac{R}{2(r - x)}$, или $\frac{x}{r} = 1 - \frac{1}{2 \cos \alpha_{0} }$.
На рисунке приводится график зависимости $\frac{x}{r}$ от $\alpha_{0}$. Из этого графика можно определить положение центра тяжести игрушки, если известен предельный угол $\alpha_{0}$. Очевидно, что по условию $\alpha_{0}$ не должен превышать $\frac{ \pi}{3}$, а тогда центр тяжести оказывается удаленным от точки контакта с опорой на расстояние, меньшее $\frac{r}{2}$.
Чем ниже центр тяжести, тем устойчивее тело на опоре и тем шире область устойчивости. В нашей задаче из всех тел наибольшей устойчивостью обладает легкая, почти невесомая сфера с компактной, но тяжелой массой, закрепленной около ее основания. При качении такого тела по круглой опоре без проскальзывания центр тяжести тела описывает кривую, которая называется кардиоидой. (Это алгебраическая кривая четвертого порядка, частный случай так называемой эпициклоиды.) Уравнение кардиоиды в декартовых прямоугольных координатах имеет вид $(x^{2} + y^{2} + 2ry) = 4r^{2} (x^{2} + y^{2} )$. Кардиоиду можно легко построить самим по точкам с помощью
циркуля и линейки. По виду она напоминает сердце (рис.), и этот факт отражен в самом названии кривой: греческое слово kardia означает сердце.
Мы показали, что угол между осью кардиоиды и отрезком, проведенным в точку, в которой касательная к кардиоиде параллельна $x$, равен $\frac{ \alpha_{0max}}{2} = 30^{ \circ}$. Соответствующий этой точке максимальный подъем центра тяжести игрушки равен $\Delta H = \frac{r}{2}$. Если центр тяжести игрушки находится выше границы основания, то при вращении без проскальзывания на сфере того же радиуса этот центр описывает кривую, которая называется укороченной кардиоидой - одной из разновидностей улитки Паскаля.