2020-05-14
Трубка в форме петли укреплена на бруске, находящемся на гладкой горизонтальной поверхности стола (рис.). Нижний конец трубки горизонтален и находится на расстоянии $h$ от стола. Шарик массой $m$, который может скользить по трубке без трения, удерживается на высоте $H$ от стола. Масса платформы с трубкой $3m$. Вначале система покоилась. Шарик отпустили. Найдите скорость вылетевшего из трубки шарика, если: 1) брусок закреплен на столе; 2) брусок не закреплен и после вылета шарика движется поступательно.
Решение:
1) В случае закрепленного бруска скорость $v_{1}$ вылетевшего шарика найдем из закона сохранения и превращения энергии:
$mgH = mgh + \frac{mv{1}^{2} }{2}$,
откуда
$v_{1} = \sqrt{2g(H-h)}$.
2) В случае незакрепленного бруска будем рассуждать так. Пусть шарик вылетел из трубки со скоростью $v_{2}$, a брусок с трубкой приобрел скорость $u$ в противоположном направлении. На систему из шарика и бруска с трубкой за время $\Delta t$ движения шарика в трубке действуют такие внешние силы: направленные вертикально вниз силы тяжести $m \vec{g}$ и $3m \vec{g}$ и направленная вертикально вверх и зависящая от времени сила нормальной реакции стола $\vec{N}(t)$. Заметим, что $\Delta t$ здесь не считается малым! Направим ось X горизонтально в направлении скорости вылетевшего шарика. Ясно, что проекция на ось X суммы всех трех вертикальных сил равна нулю в любой момент из интервала времени $\Delta t$. Значит, проекция на ось X импульса системы сохраняется:
$0 = mv_{2} - 3mu$.
По закону сохранения и превращения энергии,
$mgH = mgh + \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \frac{3mu^{2} }{2}$.
Из последних двух уравнений находим скорость шарика:
$v_{2} = \sqrt{ \frac{3g(H - h) }{2}}$.