2020-05-14
Тонкий стержень длиной $L$ и массой $m$ подвесили за концы на двух одинаковых легких нерастяжимых нитях в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$ так, что его ось горизонтальна, а нити вертикальны. Затем через стержень пропустили заряд $q$ столь быстро, что стержень практически не сместился из положения равновесия. Зная, что максимальная высота поднятия стержня много меньше длины нитей $H$, найдите максимальную вертикальную составляющую его скорости после прохождения заряда.
Решение:
Поскольку стержень находится в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, направленной вертикально, а сам располагается горизонтально, во время ($- \tau \leq t \leq 0$) протекания тока $I$ на стержень должна действовать сила Ампера, равная $F_{A} = IBL$ и направленная горизонтально перпендикулярно его оси. Так как величина импульса силы Ампера равна
$\int_{- \tau}^{0} F_{a}dt = \int_{ - \tau}^{0} I(t)BLdt = BLq$,
на основании закона изменения импульса получаем, что к моменту $t = 0$ окончания протекания заряда все точки стержня приобретут скорость $v_{0} = \frac{BLq}{m}$ и в дальнейшем будут (подобно грузику математического маятника при малых амплитудах) совершать гармонические колебания с угловой частотой $\omega = \sqrt{ \frac{g}{H} }$. Следовательно, зависимость от времени угла и отклонения нитей подвеса от вертикали будет иметь вид $\alpha(t) = \alpha_{0} \sin \omega t$. Проекция скорости точки, движущейся по окружности радиусом $H$ с угловой скоростью $\frac{d \alpha}{dt} = \alpha^{ \prime} (t)$ на положительное направление касательной к ее траектории равна $v_{к} = H \alpha^{ \prime} (t)$, тогда зависимость вертикальной составляющей скорости от времени можно представить в виде $v_{в} (t) = v_{к}(t) \sin \alpha (t) = v_{к} (t) \alpha (t) $, т.к. $\alpha (t) \ll 1$. Отсюда, учитывая ранее найденные значения угловой частоты колебаний и амплитуды скорости, найдем искомое максимальное значение вертикальной составляющей скорости стержня:
$v_{в \: max} = \frac{v_{0}^{2} }{2 \omega H } ( \sin 2 \omega t)_{max} = \frac{(BLq)^{2} }{2m^{2} \sqrt{gH} }$.