2020-05-14
К гальваническому элементу последовательно подключены два резистора. Сопротивление первого резистора в $n$ раз меньше внутреннего сопротивления элемента, а сопротивление второго выбрано таким, что на нем выделяется максимально возможное количество теплоты. Во сколько раз изменится скорость растворения отрицательного электрода элемента, если эти резисторы подключить к нему, соединив их параллельно?
Решение:
Как известно, гальванический элемент состоит из двух изготовленных из разных проводников электродов, погруженных в электролит. ЭДС гальванического элемента определяется разностью электрохимических потенциалов его электродов, а при подключении к элементу нагрузки ток через электролит обусловлен упорядоченным движением только ионов.
Поэтому на основании закона Фарадея для электролиза можно утверждать, что скорость растворения отрицательного электрода при подключении к элементу нагрузки должна быть прямо пропорциональна величине текущего через элемент тока. Следовательно, для ответа на поставленный вопрос необходимо найти отношение токов при указанных способах подключения резисторов.
Если ЭДС элемента $E$, сопротивление первого резистора $R_{1}$, а второго $R_{2}$, то при последовательном соединении резисторов и источника через каждый из них должен протекать ток
$I_{вс} = \frac{E}{(1 + n)R_{1} + R_{2} } $.
При этом на втором резисторе должна выделяться тепловая мощность $Q_{2} = I_{вс}^{2}R_{2}$. Поскольку эта мощность должна быть максимальной, можно определить величину $R_{2}$, приравнивая нулю первую производную $Q_{2}$ по $R_{2}$. Вычисления дают $R_{2} = (n + 1) R_{1}$.
В случае соединенных параллельно резисторов ток через элемент равен
$I_{пр} = \frac{E}{nR_{1}} + \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} } = \frac{(n + 2)E}{((n + 3)n + 1)R_{1} }$.
Тогда искомое отношение, равное отношению токов, будет равно
$x = \frac{(n + 3)n + 1}{2(n + 1)(n + 2)}$.