2020-05-14
В плоский воздушный конденсатор параллельно его обкладкам вставили тонкую проводящую пластину, размеры которой совпадают с размерами обкладок. Обкладки соединены проводником. Пластина имеет заряд $q$. Какую минимальную работу нужно совершить против сил электрического поля, чтобы расстояние между одной из обкладок и пластиной изменить от начального $a$ до конечного $b$, если площадь пластины $S$, а расстояние между обкладками конденсатора равно $d$ и много меньше линейных размеров пластин?
Решение:
Как известно, избыточный статический заряд располагается на поверхности проводника. Если обозначить величину заряда поверхности пластины, находящейся на расстоянии $a$ от одной из обкладок конденсатора, $q_{1a}$, а заряд другой поверхности обозначить $q_{2a}$, то по условию задачи $q = q_{1a} + q_{2a}$. На обращенных к пластине поверхностях обкладок конденсатора (в силу явления электростатической индукции) должны появиться заряды $-q_{1a}$ и $-q_{2a}$. Таким образом, между обкладками и пластиной возникают электрические поля, напряженности которых равны $E_{1a} = \frac{q_{1a}}{ \epsilon_{0}S}$ и $E_{2a} = \frac{q_{2a}}{ \epsilon_{0}S}$. Соответственно, разности потенциалов между обкладками и заряженной пластиной равны $\Delta \phi_{1a} = aE_{1a}$ и $\Delta \phi_{2a} = (d-a)E_{2a}$.
Поскольку пластины по условию соединены проводником, эти разности потенциалов должны быть равны друг другу, откуда получим
$q_{1a} = \left ( 1 - \frac{a}{d} \right ) q, q_{2a} = \frac{aq}{d}$.
Видно, что при изменении положения заряженной пластины внутри конденсатора должно происходить перераспределение зарядов как между поверхностями пластины, так и между обкладками конденсатора. При этом должны изменяться напряженности полей внутри конденсатора, а значит, и энергия, соответствующая этим полям. Очевидно, что такое изменение может произойти только за счет работы внешних сил, под действием которых происходит перемещение пластины. Ясно также, что перераспределение зарядов - их упорядоченное движение - в общем случае должно сопровождаться выделением тем большего количества теплоты и тем более интенсивным излучением, чем больше скорость упорядоченного движения зарядов. Следовательно, работа внешних сил будет минимальной, если перемещение пластины будет происходить бесконечно медленно. На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что искомая работа $A$ должна удовлетворять уравнению
$\frac{q_{1a}^{2} }{2C_{1a} } + \frac{q_{2a}^{2} }{2C_{2a} } + A = \frac{q_{1b}^{2} }{2C_{1b} } + \frac{q_{2b}^{2} }{2C_{2b} }$,
где $C_{1a}$ и $C_{1b}$ - емкости конденсатора, образованного пластиной и обкладкой, находящейся от нее на расстояниях $a$ и $b$ соответственно, а $C_{2a}$ и $C_{2b}$ - емкости конденсатора, образованного пластиной и второй обкладкой. Учитывая, что емкость плоского воздушного конденсатора с площадью каждой пластины $S$ и расстоянием между ними $d$ равна $C = \frac{ \epsilon_{0}S }{d}$, из последнего уравнения получаем
$A = \frac{q^{2}(b - a))(d - a - b) }{2 \epsilon_{0}Sd }$.