2020-05-14
Между поршнем и дном гладкого расположенного горизонтально цилиндра находится кусочек льда массой $m$ и насыщенный водяной пар. В некоторый момент температура льда стала равной $0^{ \circ} С$, а объем пара стал равным $V$. Пренебрегая объемом образующейся воды и теплообменом пара и льда с другими телами, найдите перемещение поршня по прошествии достаточно большого промежутка времени. Площадь поперечного сечения цилиндра $S$, молярные теплоты плавления льда и парообразования воды $\lambda$ и $L$, молярные теплоемкость и масса воды $C$ и $M$. Опыт проводился при нормальном атмосферном давлении.
Решение:
Очевидно, что в тот момент, когда температура льда стала равной $0^{ \circ} С$, давление насыщенного пара воды должно было стать равным атмосферному: $p_{н} = p_{aтм} = 1 атм$, а потому температура пара $T(0) = 373 К$. Из уравнения Клапейрона-Менделеева найдем число молей пара, находившегося в цилиндре в указанный момент времени: $\nu(0) = \frac{ p_{атм}V}{RT(0) }$. Как известно, любая система по прошествии достаточного промежутка времени (при фиксированных внешних условиях) самопроизвольно переходит в состояние термодинамического равновесия, при котором все части системы имеют одну и ту же температуру. Поскольку теплообмен пара и льда со всеми другими телами исключен, за счет теплообмена со льдом пар будет конденсироваться, а лед будет плавиться.
При этом давление в цилиндре будет оставаться равным 1 атм. Если количество пара $\nu(0)$ было достаточно малым, то он весь сконденсируется, и искомое перемещение поршня следует считать равным $\Delta h = \frac{V}{S}$. В противном случае произойдет лишь частичная конденсация пара, а образовавшаяся вода будет имеет температуру $100^{ \circ} С$. Уравнение теплового баланса для этого случая можно записать в виде $L \Delta \nu = ( \lambda + 100C) \frac{m}{M}$, где $\Delta \nu$ - количество молей сконденсировавшегося пара. Определив из уравнения теплового баланса число молей сконденсировавшегося пара, а из уравнения Клапейрона-Менделеева изменение объема пара, найдем искомое перемещение поршня во втором случае. Объединяя оба случая и учитывая, что $\Delta \nu \leq \nu(0)$, искомое перемещение поршня можно представить в виде
$h = \begin{cases} \frac{V}{S} \: при \: ( \lambda + 100C )m = k > \frac{p_{атм}VLM }{RT(0) } = b, \\ \frac{( \lambda + 100C )RT(0)m}{Mp_{атм}SL } \: при \: k < b, \end{cases}$,
или, подставив значения $R = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}, M = 18 г/моль, p_{атм} = 1 атм = 1,01 \cdot 10^{5} Па$ и $T(0) = 373 К$,
$h = \begin{cases} \frac{V}{S} \: при \: k > 0,59VL,\\ 1,7 \frac{( \lambda + 100C )m}{SL} \: при \: k < 0,59VL. \end{cases}$.