2020-05-14
В горизонтально расположенный цилиндр с поршнем, касающимся дна, через кран в дне накачали гелий. В результате поршень несколько передвинулся. Закрыв кран, цилиндр медленно нагрели, а затем начали охлаждать. Когда от гелия отвели в $n = 4$ раза меньшее количество теплоты, чем было им получено при нагревании, поршень начал двигаться. Найдите отношение сил трения и атмосферного давления, действующих на поршень, если отношение максимального объема гелия к его объему перед нагреванием $k = 5$.
Решение:
При достаточно медленном наполнении цилиндра сила давления гелия на поршень должна быть равна сумме действующих на него сил атмосферного давления и трения скольжения:
$p_{0}S = F_{атм} + F_{тр}$,
где $p_{0}$ - давление гелия непосредственно перед его нагреванием, a $S$ - площадь поперечного сечения цилиндра. Поскольку величина силы трения скольжения равна максимальному значению силы трения покоя, не зависит ни от температуры цилиндра, ни от положения поршня в нем и после закрытия крана число $\nu$ молей гелия в цилиндре под поршнем не изменяется, при нагревании давление в цилиндре должно оставаться неизменным, а объем гелия должен увеличиваться. Пусть температура гелия непосредственно перед нагреванием $T_{0}$, перед охлаждением $T_{max}$, а в тот момент, когда поршень начинает двигаться после некоторого охлаждения гелия, $T_{к}$.
Тогда можно записать
$pV = \nu RT_{0}, p_{0}V_{max} = \nu RT_{max}, p_{к}V_{max} = \nu RT_{к}$,
где $V_{0}$ и $V_{max}$ - объемы гелия до и после нагревания, $R$ - универсальная газовая постоянная. При этом давление гелия непосредственно перед началом движения поршня при охлаждении равно $p_{к} = \frac{F_{атм} - F_{тр} }{S}$, так как направление силы трения покоя к этому моменту должно стать противоположным направлению силы атмосферного давления, а ее величина вновь принять максимальное значение. Поскольку гелий является одноатомным газом, его молярная теплоемкость при изохорическом процессе равна $C_{V} = 1,5R$, а при изобарическом $C_{p} = 2,5R$. Отсюда следует, что при нагревании гелий должен был получить количество теплоты $Q_{+} = 2,5 \nu R (T_{max} - T_{0} )$, а при охлаждении отдать $Q_{-} = 1,5 \nu R (T_{max} - T_{к} )$. Учитывая, что $\frac{V_{max}}{V_{0} } = k$ и $\frac{Q_{+}}{Q_{0} } = n$, найдем отношение давлений:
$\frac{p_{к}}{p_{0} } = 1 - \frac{5(k - 1)}{3nk}$,
а атем и искомое отношение сил:
$\frac{F_{тр} }{F_{атм} } = \frac{1 - \frac{p_{к} }{p_{0} } }{1 + \frac{p_{к} }{p_{0} } } = \frac{5(k - 1)}{6nk - 5(k - 1)} = 0,2$.