2020-05-14
На внутренней поверхности тонкого обода колеса массой $M$ и радиусом $R$ лежит груз малых размеров массой $m$. Коэффициент трения груза об обод $\mu \ll 1$. Колесо может свободно вращаться вокруг своей оси, расположенной горизонтально. Пренебрегая массой спиц и втулки колеса, найдите максимальную скорость груза, при
которой колебания колеса еще могут быть гармоническими.
Решение:
Колебания колеса с грузом будут оставаться гармоническими до тех пор, пока не возникнет скольжение груза по колесу. Очевидно, что в положении равновесия груз должен находится на одной вертикали с осью обода. При смещении из этого положения проекция силы тяжести груза на направление касательной к ободу становится отличной от нуля, и, для того чтобы груз не скользил по ободу, между грузом и ободом должна действовать сила трения покоя. Максимальная величина этой силы равна произведению коэффициента трения на величину нормальной составляющей силы реакции. Если радиус, проведенный в точку нахождения груза, образует с вертикалью угол $\alpha$ (причем $| \alpha | < \frac{ \pi}{2}$) и груз имеет при этом скорость $v$, то на основании второго закона Ньютона величина нормальной составляющей равна $N = \left ( \frac{v^{2}}{R} + g \cos \alpha \right ) m$, где $m$ - масса груза. Отсюда следует, что $N$ тем меньше, чем меньше $v$ и больше угол $\alpha$, т.е. $N$ достигает минимального значения при максимальном отклонении груза от положения равновесия. В этом положении проекция силы тяжести груза на направление касательной к ободу равна $mg \sin \alpha_{max}$. Следовательно, груз не будет скользить по ободу, если $\mu \geq tg \alpha_{max}$, или, поскольку $\mu \ll 1$, если $\alpha_{max} = \mu$. При гармонических колебаниях скорость тела достигает максимума в момент прохождения им положения равновесия, поэтому искомую скорость можно определить на основании закона сохранения механической энергии:
$\Delta W_{п} = mgR(1 - \cos \alpha_{max} ) = mgR \frac{ \alpha_{max}^{2}}{2} = \Delta W_{к} = (m + M) \frac{v_{max}^{2}}{2}$,
откуда
$v_{max} = \mu \sqrt{ \frac{mgR}{m + M} }$.