2020-05-14
Неоднородная балка (рис.) подвешена к потолку на трех одинаковых в недеформированном состоянии легких резиновых шнурах так, что шнуры вертикальны и лежат в одной плоскости. Расстояния между шнурами $L_{1}$ и $L_{2}$, а между первым шнуром и центром тяжести балки (по горизонтали) $L$. Точки крепления шнуров к балке лежат на одной прямой. Найдите отношение сил натяжения первого и второго шнуров, считая деформации шнуров малыми.
Решение:
Ясно, что ответ на поставленный вопрос зависит от характера движения балки. Поскольку в условии задачи нет никаких специальных оговорок о характере движения балки, решать задачу следует в предположении, что балка остается неподвижной относительно точек крепления шнуров к потолку. На рисунке показаны силы, действующие на балку: это силы $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$ со стороны удерживающих ее шнуров и сила тяжести $m \vec{g}$, где $m$ - масса балки. Ускорение центра масс балки будет равно нулю, если
$F_{1} + F_{2} + F_{3} = mg$.
При этом балка будет находиться в равновесии, если сумма моментов всех сил относительно любой оси будет равна нулю. Если в качестве оси выбрать прямую, проходящую через точку крепления первого шнура к балке перпендикулярно плоскости, в которой лежат действующие на нее силы, то условие отсутствия углового ускорения у балки должно иметь вид
$L_{1}F_{2} +(L_{1} + L_{2})F_{3} = Lmg$.
Чтобы получить полную систему уравнений, необходимо учесть упругие свойства шнуров. Так как деформации шнуров по условию являются малыми, на основании закона Гука
можно утверждать, что силы упругости шнуров $F_{i}$ пропорциональны деформациям шнуров $\Delta x_{i}$. Отсюда и из рисунка следует соотношение
$\frac{L_{1} + L_{2}}{L_{2} } = \frac{ \Delta x_{1} - \Delta x_{3} }{ \Delta x_{2} - \Delta x_{3} } = \frac{F_{1} - F_{3} }{F_{2} - F_{3} }$.
Решая совместно три полученных уравнения, найдем искомое отношение сил:
$\frac{F_{1}}{F_{2} } = \frac{2L_{1}^{2} + (2L_{1} + L_{2})(L_{2} - L) }{L_{1}(L_{2} + L ) + L_{2} (L_{2} - L ) }$.