2020-05-14
На край доски, лежащей на гладкой горизонтальной плоскости, кладут небольшую шайбу, масса которой в $k$ раз меньше массы доски. Шайбе щелчком сообщают скорость, направленную к центру доски. Если эта скорость больше $u$, то шайба соскальзывает с доски. С какой скоростью будет двигаться доска, если скорость шайбы будет в $n$ раз больше $u$ ($n > 1$)?
Решение:
Из закона сохранения импульса следует, что скорость шайбы непосредственно после щелчка $u_{ш}$, ее скорость $v_{ш}$ и скорость доски $v_{д}$ в момент соскальзывания шайбы должны удовлетворять соотношению
$mu_{ш} = Mv_{д} + mv_{ш}$, (1)
где $m$ - масса шайбы, а $M$ - масса доски. Учитывая, что перемещение шайбы относительно доски к моменту соскальзывания не зависит от ее начальной скорости, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что
$\frac{mv_{ш}^{2} }{2} = \frac{Mv_{д}^{2}}{2} + \frac{mv_{ш}^{2} }{2} + A$, (2)
где $A$ - работа сил трения. Из равенств (1) и (2) при $u_{ш} = u$ и $\frac{M}{m} = k$ получим
$\frac{2A}{m} = \frac{k}{k + 1} u^{2}$. (3)
При $u_{ш} = nu$ из соотношений (1) - (3) следует, что искомая скорость доски должна удовлетворять уравнению
$k(k + 1)v_{д}^{2} - 2nkuv_{д} + \frac{ku^{2}}{k +1} = 0$.
Очевидно, что при $u \rightarrow \infty$ время взаимодействия шайбы с доской должно стремиться к нулю; следовательно, искомая скорость доски по мере увеличения $n$ (после того, как оно превысит некоторое критическое значение) должна уменьшаться (в пределе до нуля). Поэтому из двух возможных решений полученного квадратного уравнения условиям задачи удовлетворяет корень
$v_{д} = u \frac{n - \sqrt{n^{2} - 1 } }{k + 1}$.