2020-05-14
Маленький деревянный шарик прикреплен с помощью нерастяжимой нити длиной $l = 30 см$ к дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити $r = 20 см$. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через центр дна. При какой угловой скорости вращения $\omega$ нить отклонится от вертикали на угол $\alpha = 30^{ \circ}$? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Нить с шариком отклонится к оси вращения (рис.). На шарик будут действовать три силы: сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила Архимеда $\vec{F}_{A}$. Найдем последнюю силу. Обозначим объем шарика $V$, плотность дерева, из которого изготовлен шарик, $\rho_{ш}$, плотность воды $\rho_{в}$. Рассмотрим сначала движение жидкости до погружения в нее шарика. Любой элементарный объем воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления, т.е. силы Архимеда, уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объеме, а горизонтальная составляющая силы Архимеда сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости в элементарном объеме соответствующим фрагментом шарика эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая $\vec{F}_{A1}$ силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна $\rho_{в} Vg$, а направленная к оси вращения горизонтальная составляющая $\vec{F}_{A2}$ силы Архимеда по величине равна $\rho_{в}V \omega^{2} (r - l \sin \alpha )$. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиусом $r - l \sin \alpha$ в горизонтальной плоскости.
По второму закону Ньютона,
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T} + \vec{F}_{A}$,
или
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T} + \vec{F}_{A1} + \vec{F}_{A2}$.
Переходя к проекциям сил и ускорения на вертикальную ось, находим
$0 = - \rho_{ш}Vg - T \cos \alpha + \rho_{в} Vg$,
а проектируя силы и ускорение в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем
$\rho_{ш} V \omega^{2} ( r - l \sin \alpha) = \rho_{в} V \omega^{2} (r - l \sin \alpha ) - T \sin \alpha$.
Исключая $T$ из двух последних соотношений, определяем искомую угловую скорость:
$\omega = \sqrt{ \frac{g tg \alpha}{r - l \sin \alpha} } \approx 11 с^{-1}$.