2020-04-03
На двух легких одинаковых пружинах, соединенных нитью AB, висит груз массой $m$ (рис.). Жесткость каждой пружины $k$. Между витками пружины протянули еще две нити: одну прикрепили к потолку и к верхнему концу B нижней пружины, а вторую - к грузу и нижнему концу A верхней пружины. Эти две нити не провисают, но и не натянуты. Нить AB перерезали. Через некоторое время система пришла к новому положению равновесия. Найдите изменение потенциальной энергии системы.
Решение:
Кинетическая энергия системы не изменилась. Потенциальная же энергия - связанная как с деформацией пружин, так и с взаимодействием груза с землей - изменилась. Вначале каждая пружина растянута на $\Delta x_{1} = \frac{mg}{k}$ и их общая потенциальная энергия деформации равна
$E_{д1} = 2 \frac{k \Delta x_{1}^{2} }{2} = \frac{(mg)^{2} }{k}$.
После перерезания нити пружины оказались соединенными параллельно и каждая из них растянута на вдвое меньшую длину: $\Delta x_{2} = \frac{mg}{2k}$. Их общая энергия деформации равна
$E_{д2} = 2 \frac{k \Delta x_{2}^{2}}{2} = \frac{(mg)^{2}}{4k}$.
Груз при этом поднимется на высоту $\Delta h = \Delta x_{1} - \Delta x_{2} = \frac{mg}{2k}$, и изменение потенциальной энергии тяготения будет равно
$\Delta E_{т} = mg \Delta h = \frac{(mg)^{2} }{2k}$.
В итоге потенциальная энергия изменится на
$\Delta E = \Delta E_{д} + \Delta E_{т} = E_{д2} - E_{д1} + \Delta E_{т} = - \frac{(mg)^{2} }{4k}$,
т.е. она уменьшится.