2020-04-03
На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска длиной $l = 1 м$, на одном конце которой закреплен вертикальный упор. Какую минимальную скорость надо сообщить маленькому бруску, лежащему на другом конце доски, чтобы после абсолютно упругого удара об упор брусок вернулся назад и упал с доски? Масса доски в 8 раз больше, чем масса бруска, коэффициент трения между ними $\mu = 0,2$.
Решение:
В этой задаче закон сохранения энергии применим совместно с законом сохранения импульса.
При минимальной скорости $v_{0}$ бруска он после удара об упор возвращается в начальную точку, в этот момент скольжение бруска по доске прекращается и доска с бруском начинают двигаться как единое целое. Конечную скорость системы найдем из закона сохранения импульса
$mv_{0} = (m + M)v$.
В законе сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{(m + M)v^{2}}{2} + |A_{тр} |$
работа сил трения выражается через относительное перемещение бруска по доске. Так, при движении бруска до удара об упор полная работа сил трения равна
$A_{тр1} = - F_{тр} s_{бр} + F_{тр}s_{д} = - F_{тр}l$
($s_{бр}, s_{д}$ - перемещения бруска и доски относительно земли). То же самое получается при движении бруска назад. Отметим, что при ударе об упор энергия системы не меняется, и поэтому удар никак не проявляется в уравнениях. Закон сохранения энергии приобретает вид
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{(m + M)v^{2} }{2} + \mu mg \cdot 2l$.
Подставляя сюда $v$ из закона сохранения импульса, получим
$\frac{mM}{m + M} \frac{v_{0}^{2}}{2} = 2 \mu mgl$,
откуда, с учетом равенства $M = 8m$, найдем
$v_{0} = \sqrt{ \frac{9}{2} \mu gl } = 3 м/с$.