2020-04-03
Тонкий стержень длиной $l = 1 м$ может соскальзывать вдоль своей длины по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом ( $tg \alpha = 0,2$). Верхняя часть плоскости является для стержня гладкой, а нижняя, начиная с некоторой горизонтальной границы, - шероховатой с коэффициентом трения $\mu = 0,6$ (рис.). На каком расстоянии $b$ выше этой границы должен находиться нижний конец стержня в начале движения, чтобы стержень остановился в тот момент, когда полностью заедет на шероховатую поверхность?
Решение:
Движение происходит с переменным ускорением, и динамически-кинематический подход становится неприемлемым.
Ускорение стержня определяется проекцией силы тяжести и силой трения. Поскольку сила трения действует только на ту часть стержня, которая заехала на шероховатую поверхность, ускорение зависит от $x$ и движение не является равноускоренным. Однако благодаря тому, что сила трения линейно зависит от $x$, работа силы трения может быть рассчитана как площадь треугольника на графике зависимости $F_{тр} (х)$:
$A_{тр} = - \frac{0 + \mu mg \cos \alpha }{2} l$.
Принимая конечную потенциальную энергию за ноль, уравнение
$E_{1} = E_{2} + |A_{тр} |$
приведем к виду
$mg(l + b) \sin \alpha = \frac{ \mu mgl \cos \alpha }{2}$,
откуда получим
$b = l \left ( \frac{ \mu}{2} ctg \alpha - 1 \right ) = 0,5м$.
Видно, что минимальный коэффициент трения, при котором задача имеет решение, равен $2tg \alpha$. В этом случае сила трения $F_{тр} (x) = \mu mg \frac{x}{l} \cos \alpha$ уравновешивается проекцией силы тяжести $mg \sin \alpha$ при $x = \frac{l}{2}$, ускорение меняет знак, и стержень, отпущенный от самой границы ($b = 0$), останавливается при $x = l$.