2020-03-27
Спутник массой $m$ движется вокруг звезды массой $M \gg m$ по эллиптической орбите с большой полуосью $a$ и эксцентриситетом $e$. Определите скорость спутника $v$ в тот момент, когда он находится на расстоянии $r$ от центра звезды. Чему равны максимальная $v_{max}$ и минимальная $v_{min}$ скорости спутника?
Решение:
В силу закона сохранения энергии имеем уравнение
$\frac{mv^{2}}{2} - G \frac{Mm}{r} = - G \frac{Mm}{2a}$,
из которого сразу получаем искомую скорость:
$v = \sqrt{2GM \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{2a} \right ) }$.
Очевидно, что максимальная скорость достигается при минимальном $r$, т.е. в перицентре, когда $r = a - c = a(1 - e)$. Вычисления дают
$v_{max} = \sqrt{ \frac{GM}{a} \left ( \frac{1 + e}{1 - e} \right )}$.
Ясно также, что минимальная скорость достигается при максимальном $r$, т.е. в апоцентре, когда $r = a + c = a(1 + e)$:
$v_{min} = \sqrt{ \frac{GM}{a} \left ( \frac{1 - e}{1 + e} \right )}$.