2020-03-27
Узкий длинный ковер (ковровая дорожка) лежит на полу (рис.). Конец ковра загибают и тянут назад со скоростью $v$. Масса единицы длины ковра равна $\rho$. Какую силу $F$ прикладывают к концу ковра?
Решение:
Когда конец ковра, к которому приложена сила, пройдет путь $L$, точка перегиба ковра пройдет путь $L/2$, т.е. она движется не со скоростью $v$, а со скоростью $w = \frac{v}{2}$. За время $\Delta t$ в движение вовлекается участок ковра длиной $\Delta l = w \Delta t$ и массой $\Delta m = \rho w \Delta t$. Поэтому уравнение Мещерского принимает совсем простой вид:
$F = u \frac{dM}{dt} = v \rho w = \frac{ \rho v^{2} }{2}$.
Нам известны все параметры, описывающие движение ковра. Рассмотрим разные члены в балансе энергии в тот момент, когда ковер сложен вдвое. К этому моменту точка приложения внешней силы $F$ пройдет, как уже сказано, путь $L$. Значит, этой силой будет совершена работа
$A = FL = \frac{ \rho v^{2} }{2}L$.
Теперь сосчитаем кинетическую энергию движущейся части (т.е. половины) ковра:
$E_{к} = \frac{L}{2} \rho \frac{v^{2} }{2} = \frac{1}{2}A$.
Мы получили, что ровно половина работы внешней силы потеряна. Такой вот удивительный результат! И нам надо запомнить на будущее, что массивные гибкие связи нельзя считать идеальными - при движении точки перегиба мы обязательно теряем заметную часть механической энергии.