2020-03-27
Тяжелая цепь свернута в клубок на самом краю стола (рис.), а одно звено свешивается за край стола. Как будет двигаться конец цепи, предоставленной самой себе?
Решение:
Кейли, конечно, не знал уравнения Мещерского. Мы же воспользуемся этим уравнением. Будем отсчитывать вертикальную координату конца цепи $x$ вниз от края стола. Запишем уравнение
$M(t) \frac{d \vec{v} }{dt} = \vec{F} + \vec{u} \frac{dM}{dt}$, (*)
для движущегося участка цепи длиной $x$. Пусть масса единицы длины цепи равна $\rho$. Тогда движущийся участок имеет массу $m = \rho x$, на него действует сила тяжести $\rho gx$ , за единицу времени масса этого участка увеличивается на $\rho v$. Скорость элемента цепи, лежащего на столе, относительно движущегося участка цепи равна $u_{x} = - v$. Так что уравнение (*) в проекции на ось $x$ примет вид
$m \frac{dv}{dt} = \rho xg - \rho v^{2}$,
и мы получим следующее уравнение для функции $x(t)$:
$xx^{ \prime \prime} = xg - x^{ \prime 2}$.
Это, как уже сказано, и есть дифференциальное уравнение второго порядка (звучит пугающе). Математики умеют решать такие уравнения, выполняя формальные преобразования, придумывая замены переменных и тому подобное. Но мы же физики - мы пойдем своим путем.
Подумаем: какого типа движение может совершать свешивающийся участок цепи? О равномерном не может быть и речи. Может быть - равноускоренное? Что ж, попробуем.
Предположим, что свешивающийся со стола участок цепи движется с неким неизвестным нам пока постоянным ускорением $a (a < g)$. Это предположение может показаться слишком смелым, но ведь мы ничем не рискуем - если оно неправильно, мы придем к противоречию и тогда будем придумывать что-нибудь другое. Итак, пусть
$x^{ \prime \prime} = a = const$.
Тогда
$x^{ \prime} = at, x = \frac{at^{2} }{2}$.
Подставим эти соотношения в наше дифференциальное уравнение и после совсем простых алгебраических преобразований получим
$a = \frac{g}{3}$.
Таким образом, наше предположение блестяще подтвердилось - конец цепи движется с постоянным ускорением, и мы решили задачу Кейли.