2020-03-27
Гальванический элемент замкнут на два параллельных сопротивления (рис.). Уменьшатся ли в них токи, если эти сопротивления увеличить?
Решение:
Из формулы $I = \frac{ \mathcal{E} }{R + r}$, а также из очевидных равенств $I = I_{1} + I_{2}$ и $I_{1}R_{1} = I_{2}R_{2}$ выводим выражения для $I_{1}$ и $I_{2}$:
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}R_{2} }{r(R_{1} + R_{2} ) + R_{1}R_{2} }$,
$I_{2} = \frac{ \mathcal{E}R_{1} }{r(R_{1} + R_{2} ) + R_{1}R_{2} }$.
Увеличиваем сопротивления: вместо $R_{1}$ ставим $R_{1}^{ \prime}$, а вместо $R_{2}$ ставим $R_{2}^{ \prime}$. При этом $R_{1}^{ \prime} > R_{1}$ и $R_{2}^{ \prime} > R_{2}$. Очевидно, изменятся и токи:
$I_{1}^{ \prime} = \frac{ \mathcal{E}R_{2}^{ \prime}}{r(R_{1}^{ \prime} + R_{2}^{ \prime} ) + R_{1}^{ \prime}R_{2}^{ \prime}}$,
$I_{2}^{ \prime} = \frac{ \mathcal{E}R_{1}^{ \prime}}{r(R_{1}^{ \prime} + R_{2}^{ \prime} ) + R_{1}^{ \prime}R_{2}^{ \prime}}$.
Наидем разности новых и старых токов:
$I_{1}^{ \prime} - I_{1} = \frac{ \mathcal{E}(r(R_{1}R_{2}^{ \prime} - R_{1}^{ \prime}R_{2} ) + (R_{1} - R_{1}^{ \prime} )R_{2}R_{2}^{ \prime} ) }{(r(R_{1} + R_{2} ) + R_{1}R_{2} )(r(R_{1}^{ \prime} + R_{2}^{ \prime} ) + R_{1}^{ \prime}R_{2}^{ \prime} ) }$,
$I_{2}^{ \prime} - I_{2} = \frac{ \mathcal{E}(r(R_{2}R_{1}^{ \prime} - R_{2}^{ \prime}R_{1} ) + (R_{2} - R_{2}^{ \prime} )R_{1}R_{1}^{ \prime} ) }{(r(R_{1} + R_{2} ) + R_{1}R_{2} )(r(R_{1}^{ \prime} + R_{2}^{ \prime} ) + R_{1}^{ \prime}R_{2}^{ \prime} ) }$.
Пусть $R_{1}R_{2}^{ \prime} - R_{1}^{ \prime}R_{2} > 0$. Так как $R_{1} - R_{1}^{ \prime} < 0$, то, меняя $r$, можно сделать числитель в первои разностнои формуле и положительным, и отрицательным. Иными словами, возможно и увеличение, и уменьшение силы одного из токов (в нашем случае тока $I_{1}$). Так как все равно, какой ток считать первым, а какой вторым, то неравенство $R_{1}R_{2}^{ \prime} - R_{1}^{ \prime}R_{2} < 0$ рассматривать не надо.