2020-03-27
Имеются две батареи с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно. При каких сопротивлениях нагрузки $R$ целесообразно эти батареи соединить последовательно для получения максимальной мощности в нагрузке, а при каких - параллельно?
Решение:
При последовательном соединении (рис.) батарей их электродвижущие силы, очевидно, складываются: $\mathcal{E} = \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$. Суммируются также и внутренние сопротивления: $r = r_{1} + r_{2}$. Тогда по формуле $P = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2} }$ находим
$P_{1} = \frac{( \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} )^{2} R }{(R + r_{1} + r_{2} )^{2} }$.
Случай параллельного соединения (рис.) несколько сложнее. Эквивалентное внутреннее сопротивление равно
$r = \frac{r_{1}r_{2} }{r_{1} + r_{2} }$.
А как быть с ЭДС? Поскольку общая формула должна действовать в частных и предельных ситуациях, рассмотрим случаи короткого замыкания. Ток $I$ разветвляется на токи $I_{1}$ и $I_{2}$, т.е. $I = I_{1} + I_{2}$. Для токов короткого замыкания получаем
$\frac{ \mathcal{E} }{r} = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} }$,
где $\mathcal{E}$ - эквивалентная ЭДС. Из двух последних формул находим
$\mathcal{E} = \frac{ \mathcal{E}_{1}r_{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1}}{r_{1} + r_{2} }$.
Теперь по формуле $P = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2} }$ вычисляем мощность:
$P_{2} = \frac{( \mathcal{E}_{1}r_{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1})^{2} R}{(R(r_{1} + r_{2} ) + r_{1}r_{2} )^{2}}$.
Неравенство $P_{1} > P_{2}$ легко преобразуется к равносильному
$\frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}}{R + r_{1} + r_{2} } > \frac{ \mathcal{E}_{1}r_{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1}}{R(r_{2} + r_{1} ) + r_{1}r_{2} }$,
или
$R ( \mathcal{E}_{1}r_{1} + \mathcal{E}_{2}r_{2} ) > \mathcal{E}_{1}r_{2}^{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1}^{2}$.
Следовательно, при $R > \frac{ \mathcal{E}_{1}r_{2}^{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1}^{2} }{ \mathcal{E}_{1}r_{1} + \mathcal{E}_{2}r_{2} }$ выгоднее последовательное соединение батареи. Соответственно, при $R < \frac{ \mathcal{E}_{1}r_{2}^{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1}^{2} }{ \mathcal{E}_{1}r_{1} + \mathcal{E}_{2}r_{2} }$ выгоднее параллельное соединение.