2020-03-27
В цепи, изображенной на рисунке, амперметр показывает ток $I_{1} = 10 мА$, вольтметр показывает напряжение $U_{1} = 2 В$. После того как вольтметр отключили от резистора и подключили параллельно амперметру, показания амперметра уменьшились до $I_{2} =2,5 мА$. Определите сопротивление резистора $R_{x}$.
Решение:
В схеме на рисунке ток в неразветвленной части цепи по первому правилу Кирхгофа равен
$I_{1} = I_{x} + I_{V} = \frac{U_{1} }{R_{x} } + \frac{U_{1} }{R_{V} }$,
где $R_{V}$ - сопротивление вольтметра. С другой стороны, по закону Ома,
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E} }{ R_{A} + \frac{R_{x}R_{V} }{R_{x} + R_{V} } }$,
где $R_{A}$ - сопротивление амперметра. В преобразованной схеме, изображенной на рисунке, ток в неразветвленной части цепи по закону Ома равен
$I_{3} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{x} + \frac{R_{A}R_{V} }{R_{A} + R_{V} } }$.
Исключаем ЭДС $\mathcal{E}$:
$I_{1} \left ( R_{A} + \frac{R_{x}R_{V} }{R_{x} + R_{V} } \right ) = I_{3} \left ( R_{x} + \frac{R_{A}R_{V} }{R_{A} + R_{V} } \right )$.
Ток $I_{3}$ разветвляется:
$I_{3} = I_{2} + I_{4}$.
Поскольку $I_{4}R_{V} = I_{2}R_{A}$, то $I_{4} = \frac{R_{A} }{R_{V} } I_{2}$. Тогда
$I_{3} = I_{2} + I_{2} \frac{R_{A} }{R_{V} }$.
Получаем систему трех уравнений с четырьмя переменными $R_{x}, R_{A}, R_{V}, I_{3}$:
$I_{1} = U_{1} \left ( \frac{1}{R_{x} } + \frac{1}{R_{V} } \right )$,
$I_{1} \left ( R_{A} + \frac{R_{x}R_{V} }{R_{x} + R_{V} } \right ) = I_{3} \left ( R_{x} + \frac{R_{A}R_{V} }{R_{A} + R_{V} } \right )$,
$I_{3} = I_{2} \left ( 1 + \frac{R_{A} }{R_{V} } \right )$.
Сначала исключаем $I_{3}$, затем исключаем $R_{V} = \frac{U_{1}R_{x} }{I_{1}R_{x} - U_{1} }$. В результате приходим к одному уравнению с двумя переменными:
$I_{1} R_{A} + U_{1} = I_{2}R_{x} + \frac{I_{1}I_{2}R_{A}R_{x} }{U_{1} }$,
которое легко преобразуется к виду
$R_{x}I_{2} (U_{1} + I_{1}R_{A}) = U_{1} (I_{1}R_{A} + U_{1})$.
Отсюда находим
$R_{x} = \frac{U_{1}}{I_{2} } = 800 Ом$.
Вот и проявилась олимпиадность задачи: "лишняя" переменная $R_{A}$ сократилась, а известный ток $I_{1}$ оказался избыточным данным.