2020-03-27
В цепь, составленную из источника с внутренним сопротивлением $r$ и резистора сопротивлением $R$, включается вольтметр: первый раз параллельно резистору, второй раз последовательно с ним. Показания вольтметра в обоих случаях оказались одинаковыми. Найдите сопротивление вольтметра $R_{V}$.
Решение:
В первом случае (рис.) ток в неразветвленной части цепи, очевидно, равен
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E} }{r + \frac{RR_{V} }{R + R_{V} } }$.
По первому правилу Кирхгофа для узла А имеем
$I_{1} = I_{R} + I_{V}$,
где $I_{R}$ и $I_{V}$ - токи, текущие через резистор и вольтметр соответственно. Кроме того,
$I_{R}R = I_{V}R_{V}$.
Отсюда легко получаем
$I_{V} = \frac{I_{1}R }{R_{V} + R }, U_{V} = I_{V}R_{V} = \frac{I_{1}R_{V}R }{R_{V} + R }$.
С учетом выражения для тока $I_{1}$ окончательно находим
$U_{V} = \frac{ \mathcal{E}R_{V}R }{r(R_{V} + R ) + RR_{V} }$.
Второму случаю соответствует рисунок. По закону Ома,
$I_{2} = \frac{ \mathcal{E} }{r + R + R_{V} }$ и $U_{V} = I_{2}R_{V} = \frac{ \mathcal{E}R_{V} }{r + R + R_{V} }$.
Приравняем два разных выражения для показаний вольтметра:
$\frac{ \mathcal{E}R_{V}R }{r( R_{V} + R ) + RR_{V} } = \frac{ \mathcal{E}R_{V} }{r + R + R_{V} }$,
откуда сразу следует ответ:
$R_{V} = \frac{R^{2} }{r}$.