2020-03-27
Найдите скорость верхней точки пересечения двух катящихся колес (рис.а) в тот момент, когда она находится на одной горизонтали с центром большого колеса. Скорости колес одинаковы и равны $v$, радиусы колес $r$ и $R$.
Решение:
Вводим неизвестные: $v_{A}$ - скорость точки А и $\gamma$ - угол, который она образует с горизонтом (рис.б). Скорость точки A образует угол $\gamma$ с отрезком $O_{2}A$ и угол $(90^{ \circ} + \alpha - \gamma )$ с отрезком $O_{1}A$, где $\alpha = arccos \frac{R-r}{r}$. Для этих двух отрезков наше уравнение принимает вид
$v_{A} \cos \gamma = v$,
$v_{A} \cos (90^{ \circ} + \alpha - \gamma ) = v \cos (90^{ \circ} - \alpha )$.
Решение этой непростой системы уравнений мы оставляем читателям и приводим лишь окончательный ответ:
$v_{A} = v \sqrt{1 + 4 tg^{2} \alpha } = v \sqrt{ \frac{4r^{2} }{(R-r)^{2} } - 3 }$.
А нет ли более простого метода решения этой задачи? Оказывается, есть.
Метод, который мы предлагаем для решения задач со связями, заключается в переходе в движущуюся систему отсчета. Например, рассматривая движение жесткого стержня (см. рис.), мы можем "сесть на точку В", т.е. перейти в систему отсчета $K^{ \prime}$, которая движется со скоростью $\vec{v}_{0}$, равной скорости $\vec{v}_{2}$ точки В. Выигрыш от такого перехода очевиден. Теперь точка В покоится относительно нас, и вместо двух движущихся точек осталась только одна точка А. Это большое упрощение.
Действительно, если точка В покоится, то единственным возможным движением стержня может быть только вращение относительно этой точки. При этом скорость $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ точки A (относительно новой системы отсчета $K^{ \prime}$) может быть любой по величине, но направлена она обязательно перпендикулярно стержню (рис.).
В неподвижной системе отсчета $K$, согласно классическому закону сложения скоростей, скорость точки A равна
$\vec{v}_{1} = \vec{v}_{1}^{ \prime} + \vec{v}_{0} = \vec{v}_{1}^{ \prime} + \vec{v}_{2}$.
Давайте прочитаем эту формулу нужным для нас способом: "Да, скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$" концов стержня могут быть разными, но отличаются они лишь на вектор $\vec{v}_{1}^{ \prime}$, перпендикулярный самому стержню". А это означает, что проекции скоростей $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ на стержень одинаковы (проекция их разности $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ на сам отрезок равна нулю). Наша волшебная формула подтверждена.
А теперь посмотрим, как с помощью этого метода можно проще решить задачу. Прежде подготовимся, чтобы не запутаться в обозначениях. Скорости центров колес, точек $O_{1}$ и $O_{2}$, одинаковы: $v_{1} = v_{2} = v$ и противоположно направлены: $\vec{v}_{1} = - \vec{v}_{2}$. Введем скорость $\vec{v}_{0}$, равную по модулю $v$ и направленную влево. Эта скорость равна скорости большого колеса: $\vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}$ и противоположна скорости малого колеса: $\vec{v}_{1} = - \vec{v}_{0}$.
"Сядем на большое колесо", т.е. перейдем в систему отсчета $K^{ \prime}$, движущуюся со скоростью $\vec{v}_{0}$ (рис.а). В этой системе отсчета большое колесо покоится, а малое движется вправо со скоростью $2v$. Нетрудно убедитьсяв том, что наш ответ для движущейся системы отсчета таков - скорость точки пересечения направлена вертикально вверх и равна
$v_{A}^{ \prime} = 2v tg \alpha$, где $\alpha = arccos \frac{R-r}{r}$.
Нам осталось лишь вернуться в лабораторную систему отсчета и с помощью классического закона сложения скоростей $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{A}^{ \prime} + \vec{v}_{0}$ пересчитать скорость точки А. С помощью рисунка б получаем окончательный ответ:
$v_{A} = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{A}^{ 2 \prime}} = v \sqrt{1 + 4tg^{2} \alpha} = v \sqrt{ \frac{4r^{2} }{(R-r)^{2} } - 3}$.
Решение закончено, ответ получен. Расплата за простоту -необходимость пересчитывать скорости при переходе из одной системы отсчета в другую. Впрочем, выбирайте сами, что для вас легче: решать непростую систему уравнений или разыскивать систему отсчета, в которой сразу можно указать направление неизвестной скорости.