2020-03-22
Стержень длиной $l$ изогнули по дуге окружности в виде полукольца и с помощью невесомых спиц прикрепили к горизонтальной оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. Найдите циклическую частоту малых колебаний полукольца.
Решение:
Эта задача красиво решается энергетическим методом (рис.). Обозначим за $x$ смещение полукольца из положения равновесия. Кинетическая энергия полукольца равна
$E_{к} = m \frac{x^{ \prime 2} }{2}$,
а изменение потенциальной энергии удается рассчитать благодаря свойствам симметрии дуги окружности. Действительно, при повороте дуги на малый угол все изменение в распределении масс сводится к перемещению кусочка длиной $x$ и массой $\Delta m = m \frac{x}{l}$ с одного конца дуги на другой. Изменение потенциальной энергии при этом будет равно
$E_{п} = \Delta m gx = \frac{2mg}{l} \frac{x^{2} }{2}$.
Получаем
$\omega = \sqrt{ \frac{ \frac{2mg}{l} }{m} } = \sqrt{ \frac{2g}{l} }$.
Для решения задачи в рамках динамического подхода применим метод суммирования уравнений движения вдоль линии полукольца, разобранный в задаче 13760. При этом сумма всех сил взаимодействия с невесомыми спицами (в проекции на линию дуги) равна нулю, поскольку равен нулю суммарный момент этих сил относительно оси вращения:
$F_{1x}R + F_{2x}R + \cdots = 0$
(см. задачу 13761). При суммировании проекций сил тяжести вклады участков, симметричных относительно нижней точки, сокращаются и остается только сила тяжести кусочка длиной $2x$ и массой $m \frac{2x}{l}$. Получаем уравнение движения
$mx^{ \prime \prime} = - m \frac{2x}{l} g = - \frac{2mg}{l} x$,
которое дает такой же ответ для частоты колебаний, как и при энергетическом подходе.