2020-03-22
Невесомым стержень длиной $2l$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. К свободному концу стержня и к его середине прикрепили одинаковые грузы. Найдите частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия.
Решение:
Решим задачу сначала энергетическим методом. Обозначим за $x$ смещение верхнего груза (рис.), тогда смещение нижнего груза равно $2x$ и скорости грузов равны $x^{ \prime}$ и $2x^{ \prime}$. Кинетическая энергия системы равна
$E_{к} = m \frac{x^{ \prime 2} }{2} + m \frac{(2x^{ \prime} )^{2} }{2} = 5m \frac{x^{ \prime 2} }{2}$,
а потенциальная энергия равна
$E_{п} = \frac{mg}{l} \frac{x^{2}}{2} + \frac{mg}{2l} \frac{(2x)^{2}}{2} = \frac{3mg}{l} \frac{x^{2}}{2}$,
Получаем $m_{эф} = 5m, k_{эф} = \frac{3mg}{l}$, и
$\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m_{эф} } } = \sqrt{ \frac{3g}{5l} }$.
Решим теперь эту же задачу динамическим методом. Если силы, действующие на грузы в перпендикулярном стержню направлении, равны $F_{1x}$ и $F_{2x}$ (см. рис.), то из уравнения моментов для невесомого стержня получим
$F_{1x}l + F_{2x} \cdot 2l = 0$, т.е. $F_{1x} + 2F_{2x} = 0$.
Запишем уравнения движения грузов:
$mx^{ \prime \prime} = F_{1x} - mg \frac{x}{l}$
и
$m(2x)^{ \prime \prime} = F_{2x} - mg \frac{2x}{2l}$,
домножим второе уравнение на 2 и сложим их. Получим
$5mx^{ \prime \prime} = - \frac{3mg}{l}x$, и $\omega = \sqrt{ \frac{3g}{5l} }$.