2020-03-22
Невесомый стержень длиной $2l$ согнули посередине под углом $2 \alpha$, прикрепили к его концам одинаковые грузы и повесили местом сгиба на тонкий гвоздь, вбитый в стену (рис.). Пренебрегая трением, найдите циклическую частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия.
Решение:
Вообще говоря, рассматриваемая система представляет собой один из примеров так называемого физического маятника, т.е. твердого тела, которое может вращаться относительно горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. Такие задачи решаются стандартно и легко в рамках динамики твердого тела. В школьных задачниках обычно рассматриваются модельные физические маятники, состоящие из нескольких точечных масс, скрепленных невесомыми стержнями. К такой конструкции можно применить энергетический метод, поскольку легко выразить как кинетическую, так и потенциальную энергию. Обозначив за $x$ малое смещение каждого груза, а за $\delta \alpha = \frac{x}{l}$ - малый угол отклонения стержней, получим
$E_{к} = 2m \frac{x^{ \prime 2} }{2}, E_{п} = 2mg (l \cos \alpha ) \frac{ ( \delta \alpha )^{2} }{2} = \frac{2mg \cos \alpha }{l} \frac{x^{2} }{2}$.
При расчете $E_{п}$ мы нашли высоту подъема центра масс, который располагается под точкой подвеса на расстоянии $l \cos \alpha$ от нее. Для циклической частоты колебаний получаем
$\omega = \sqrt{ \frac{g \cos \alpha}{l}}$.
На первый взгляд, обычный динамический подход здесь не применим. В самом деле, как учесть силу реакции стержней, которые в точке подвеса взаимодействуют с гвоздем? Однако на помощь приходит невесомость конструкции, из которой следует следующее утверждение (правило моментов для жесткой невесомой конструкции): сумма моментов внешних сил равна нулю, даже если невесомая конструкция движется. Введем силы $F_{1x}$ и $F_{2x}$ (см. рис.), действующие на грузы со стороны стержней (точнее, перпендикулярные стержням составляющие). Так как на стержни со стороны грузов действуют такие же силы, то из правила моментов $F_{1x}l + F_{2x}l = 0$ следует, что $F_{1x} + F_{2x} = 0$. Уравнения движения для грузов имеют вид
$mx^{ \prime \prime} = F_{1x} + mg \sin ( \alpha - \delta \alpha)$
и
$mx^{ \prime \prime} = F_{2x} - mg \sin ( \alpha + \delta \alpha )$.
Сложив эти уравнения, получим
$2mx^{ \prime \prime} = -2 mg \cos \alpha \sin \delta \alpha $, или $x^{ \prime \prime} = - \frac{g \cos \alpha}{l} x$.