2020-03-22
Тонкую цепочку длиной $l$ удерживают за верхний конец на наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Через какое время после освобождения цепочки она полностью покинет наклонную плоскость, если вначале ее нижний конец находился у края наклонной плоскости? Трением пренебречь.
Решение:
Запишем механическую энергию через координату $x$ верхнего конца цепочки (рис.):
$E_{к} = \frac{mx^{ \prime 2} }{2}$,
$E_{п} = m_{1}g \frac{x}{2} \sin \alpha = \left ( m \frac{x}{l} \right ) g \frac{x}{2} \sin \alpha = \frac{mg \sin \alpha}{l} \frac{x^{2} }{2}$.
Видно, что энергия имеет такой же вид, как в уравнении (2). Следовательно, движение происходит по закону $x = l \cos \omega t$, где $\omega = \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{l}}$ (движение от крайней точки к центру), и время до точки $x = 0$ занимает четверть периода:
$t = \frac{1}{4} \frac{2 \pi}{ \omega} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{l}{g \sin \alpha } }$.
Можно ли решить эту задачу динамическим способом? Видимая трудность заключается в том, что разные части цепочки движутся с одинаковыми по модулю, но по-разному направленными ускорениями. Однако можно преодолеть эту трудность, применив метод, который часто используется в задачах с протяженными гибкими телами. Условно этот метод можно назвать "суммированием вдоль линии тела". Разобьем цепочку на маленькие кусочки и запишем второй закон Ньютона для каждого кусочка в проекциях на направление его движения (вдоль поверхности):
$\Delta m a_{x} = (F_{1} )_{x} - (F_{2})_{x} + ( \Delta m g)_{x}$,
куда вошли силы взаимодействия с соседними кусочками. Силы нормальной реакции поверхности ни в одно уравнение не входят. При суммировании всех уравнений силы взаимодействия между кусочками сократятся (по третьему закону Ньютона), и мы получим уравнение колебаний
$mx^{ \prime \prime} = - m_{1}g \sin \alpha$,
где $m_{1} = \frac{mx}{l}$ - масса части цепочки, находящейся на наклонной плоскости.
Замечание. Применение этого метода позволит нам, например, решить задачу, которая, являясь модификацией предыдущей, может быть рассмотрена только в рамках динамического подхода. Если к условию предыдущей задачи добавить трение о наклонную плоскость (оставив горизонтальную поверхность гладкой), то закон сохранения энергии применять нельзя (точнее, можно, но совсем иначе - с учетом работы силы трения), а метод суммирования вдоль цепочки дает уравнение колебаний
$mx^{ \prime \prime} = - \left ( m \frac{x}{l} \right ) g \sin \alpha + \mu \left ( m \frac{x}{l} \right ) g \cos \alpha$,
откуда находим
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{l} ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )}$, и $t = \frac{ \pi }{2 \omega}$.